1、一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分）1.已知集合，则_.【答案】【解析】试题分析：因,故,应填.考点：集合的运算2.已知复数满足（是虚数单位），则_.【答案】【解析】试题分析：因,故,应填.考点：复数的运算3.组数据2，4,6,10的平均值是5，则此组数据的方差是_.【答案】【解析】考点：平均数和方差的计算1114.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为_.【答案】1111【解析】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知,应填.考点：伪代码语言的理解和运用5.已知，且，则_.【答案】【解析】试题分析：因,且,故,所以,应填.考点：同角三角函数的关系及运用6.袋中有2个红球，2
2、个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为_.【答案】【解析】考点：列举法和古典概型的计算公式7.若函数的零点在区间内，则_.【答案】【解析】试题分析：因,故函数的零点在,所以,应填.考点：函数零点的概念及运用8.等比数列的首项，前项的和为，若，则_.【答案】【解析】试题分析：由题设可得,故,即,所以,则,应填.考点：等比数列及有关知识的运用9.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为_.【答案】【解析】试题分析：因圆心到直线的距离,故,应填.考点：弦心距与半径弦长之间的关系及运用【易错点晴】直线和圆的位置关系是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本
3、题是一道典型的而普通的圆的弦心距与半径弦长之间的关系及运用的问题.依据直线与圆的位置关系可得圆的圆心为,运用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离,故弦长,使得问题简捷巧妙获解.10.已知点是函数图像上的点，直线是该函数图像在点处的切线，则_.【答案】【解析】考点：导数的几何意义及运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则对函数进行求导,借助导数的几何意义,然后再借助直线是函数的切线的条件建立方程,求出,最后再将点代入可得,所以.11.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底
4、面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_倍.【答案】【解析】试题分析：设圆锥的底面半径和高分别为,母线长为,则圆锥的侧面积为,由题设,即,故,所以圆柱的侧面积为,所以圆柱的侧面积与底面积的比值是,应填.考点：圆柱圆锥的侧面积和底面积的关系及运用12.设为中线的中点，为边中点，且，若，则_.【答案】【解析】试题分析:因为,即,应填.考点：向量几何形式的运算和向量的数量积公式及运用13.已知关于的一元二次不等式的解集为，则（其中）的取值范围为_.【答案】【解析】试题分析：由题设且,即,此时不等式变为,即,所以,即,即,所以,令,则.当时, ；当,则,故应填答案.考点：二次函数基本不等式等知识的综合
5、运用【易错点晴】本题设置的是一道以一元二次不等式的解集为前提,求三元函数的值域问题.求解时先运用消元的思想将三个变量转化为只剩一个变量的函数,再运用换元法将其变为.最后再分类求出该函数的最值,从而求得函数的取值范围是.14.已知函数与的图象有且只有两个交点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题时先构造函数,然后再研究该函数的导函数,进而求得其极值分别为和,最后再借助函数的图象求得实数的取值范围.二、
6、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）111.Com如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（2）由（1）知，为中点，所以，所以，又因为底面，而底面，所以，则由，得，而，平面，且，所以面， 12分又平面，所以平面平面. 14分考点：线面平行和垂直及面面垂直的判定等知识的综合运用16.（本题满分14分）在中，内角，所对的边分别是，.已知，.（1）求的值；（2）若的面积为3，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得，
7、进而求得，再运用正弦定理求的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于方程求解.（2）因，故，即.考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用17.（本题满分14分）已知椭圆过点，离心率为.（1）若是椭圆的上顶点，分别是左、右焦点，直线，分别交椭圆于，直线交于，求证：；（2）若，分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，且交椭圆于点，求证：为定值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（2）设，由于，三点共线，.考点：椭圆的几何性质及平面向量的数量积公式等有关知识的综合运用【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件将椭圆方程和直线方
8、程联立可得建立方程组,然后求得.,进而得到,所以.在第二问的求解中,借助题设条件运用向量的数量积公式可得,从而使得问题获解.18.（本题满分16分）如图，在城周边已有两条公路，在点处交汇，且它们的夹角为.已知，与公路的夹角为，现规划在公路，上分别选择,两处为交汇点（异于点）直接修建一条公路通过城，设，.（1）求关于的函数关系式，并指出它的定义域；（2）试确定点,的位置，使的面积最小.【答案】(1) ；(2)，.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用面积之间的关系建立等式即可获解；(2)借助题设和基本不等式求解.（2）的面积10分14分111当且仅当时取等号，此时.故，时，面积.16分考点：函
9、数的解析式和基本不等式等有关知识的综合运用19.（本题满分16分）已知函数，为其导函数，且时有极小值-9.（1）求的单调递减区间；（2）若，当时，对于任意，和的值至少有一个是正数，求实数的取值范围；（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】试题分析：(1)先求函数的解析式,再运用导数求解；(2)借助题设条件分类分析推证求解；(3)借助题设构造函数,运用分析推证的方法求解.试题解析：（2）由，故，当时，若，则，满足条件；5分若，则，满足条件；6分若，.如果对称轴，即时，的开口向上，故在上单调递减，又，所以当时，.8分如果对称轴，即时，解得，
10、故时，；所以的取值范围为；10分（3）因为，所以等价于，即，记，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，12分【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时先依据题设条件建立方程组,求得函数的解析式为,再运用导数求解；第二问中借助导数对函数求导,运用导数的知识建立不等式求解；第三问则是通过构造函数,运用导数进行分析推证,进而求得实数的取值范围.20.（本题满分16分）已知的三个顶点，其外接圆为.（1）求的面积；（2）若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点的线段的中点，求的半径的取值范围.【答案】(1)；(2)或；(3).111（2）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为，设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或.（3）直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又，都在半径为的圆上，所以即考点：直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用
