1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第三册)6.3二项式定理6.3.1二项式定理【考点梳理】知识点一二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN*)(1)这个公式叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1项(3)二项式系数：各项的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数知识点二二项展开式的通项(ab)n展开式的第k1项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.【题型归纳】题型一、二项式定理的正用、逆用1利用二项式定理展开下列各式：(1)；(2)2已知，则可化简为（ ）ABCD3化简(x1
2、)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)_4设n是正整数，化简5求证：题型二、二项展开式的通项的应用6求下列各展开式中的指定项：(1)展开式中的第4项；(2)展开式中的第3项7已知在的展开式中，第项为常数项(1)求；(2)求含项的系数；(3)求展开式中所有的有理项8求展开式的.（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）常数项.9已知二项式的展开式中共有8项.（1）求展开式的第4项的系数；（2）求展开式中含的项.10在的展开式中，第项的二项式系数为，（）求第项的系数（要算出具体数值），（）展开式中是否含有常数项？若有，请求出来；若没有，说明理由题型三、求两个多项式积的特定
3、项11的展开式中的系数为（ ）A-3B3C-5D512的展开式中，的系数（ ）AB5C35D5013的展开式中的系数为，则该二项式展开式中的常数项为（ ）ABCD14的展开式中的系数为（ ）A72B60C48D3615展开式中的常数项是_16的展开式中含的项的系数是_17的展开式中项的系数为_.18求展开式中含项的系数题型四、二项式定理的应用19设，则除以7的余数为（ ）A0或5B1或3C4或6D0或320已知，则（ ）ABCD21求证：当n为偶数时，22求证：.23（1）求被100除所得的余数（2）用二项式定理证明：能被100整除【双基达标】1展开式中，的系数为（ ）A20BC160D2二项
4、式的展开式中为常数项的是（ ）A第3项B第4项C第5项D第6项312(2)n等于（ ）A1B1C(1)nD3n4的展开式中的常数项为（ ）A10BCD5若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（ ）A14B16C18D206中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为，若，则b的值可以是（ ）A2020B2021C2022D20237设，且，若能被13整除，则（ ）A0B1C11D128展开=_9在展开式中，常数项为_.（用数值表示）10若的展开式中常数项为，则实数的值是_11已知在的展开式中，第9项为常数项.求：（1）展
5、开式中的系数；（2）含x的整数次幂的项的个数.12在二项式的展开式中，（1）求展开式中含项的系数：（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.13已知二项式展开式中的第7项是常数项.(1)求；(2)求展开式中有理项的个数.14求的展开式中含的项15已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.（1）求n的值；（2）求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数16记的展开式中第项的系数为（1）求的表达式；（2）若，求展开式中的常数项；（3）若，求的值【高分突破】1二项式的展开式的中间项为（ ）ABC和D和2设，则当n=2021时，a除以15所得余数为（ ）A3B4C7D83若的二项展开
6、式中有一项为，则（ ）AB60CD904（x2+2）的展开式中常数项是（ ）A332B332C320D-3205已知（x）5的展开式中，常数项为10，则a（ ）A1B1C2D26设，下列一定不是二项式展开式中的项的是（ ）A6BCD7展开式中含的项是（ ）A第8项B第7项C第6项D第5项8已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（ ）A7B8C9D109展开式中的常数项是_.10二项式的展开式中，常数项是_.11设且，则的展开式中常数项为_12化简：(1)；(2)；(3)13在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中x的一次项14已知，（1）记展开式中的常数项为m，当时，求m的
7、值；（2）证明：当时，在的展开式中，与的系数相同15在二项式的展开式中，_给出下列条件：若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7：2；所有偶数项的二项式系数的和为256；若展开式前三项的二项式系数的和等于46试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求展开式的常数项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项16在的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式中系数绝对值最大的项.【答案详解】1(1)(2)【详解】(1)(2)2A【详解】,故选：A.3x51【详解】原式(x1)5 (x1)4 (x1)3 (x1)
8、2 (x1)1(x1)151x51故答案为：x51.4【详解】由，.5证明见解析【详解】证明：.6(1)(2)【详解】(1)展开式中的第4项为(2)展开式中的第3项7(1)；(2)；(3)，.【详解】(1)通项公式为.因为第项为常数项，所以时，有，解得.(2)由可知，令，解得.所以含项的系数为.(3)由题意可知，则可能的取值为，.所以第项，第项，第项为有理项，分别为，.8（1）126（2）9（3）【详解】（1）由二项式定理及展开式的通项公式可得：第6项的二项式系数为； （2）由题意可知，故第3项的系数为9； （3）因为，令，解得，所以即常数项为.9（1）；（2）【详解】（1）二项式的展开式有项
9、，所以，可得，展开式的通项为，所以展开式的第4项的系数为；（2）展开式的通项为，所以含的项为.10（）；（）不含，理由见解析.【详解】展开式的通项为，（）由题意可知：第项的二项式系数，可得：，所以展开式的通项为，所以第项的系数为，（）该展开式的通项式为令可得：这与矛盾， 所以展开式中不含有常数项.11C【详解】由题意，的系数为.故选：C.12A【详解】的展开式第项，当时，；当时，的系数为.故选：A.13D【详解】的展开式通项为，则，因为，则，令，可得，则，得，因为，在中，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选：D.14A【详解】的展开式的通项为.令，得，令，得，舍去；令，得.所以的展开式中的
10、系数为，故选:A.15【详解】的展开式通项为，因为，在的展开式通项，由，可得，在的展开式通项，由，可得.因此，展开式中的常数项是.故答案为：.1670【详解】，又的展开式的一次项为，二次项为的展开式中含项的系数为，故答案为：7017【详解】若选后项因式中的1，则前项只能取含对应项，则此时项的系数为；若选后项因式中的，则前项因式只能取含对应项，此时项的系数为，则的展开式中项的系数为，故答案为：1018【详解】因为，的展开式通项为，的展开式通项为，其中，所以，的展开式通项为，由可得或，因此，展开式中含项的系数为.19A【详解】，故除了最后2项外，其余的各项均能被7整除，故它除以7的余数即为除以7的
11、余数，即为0或5，故选：A20B【详解】依题意，当时，于是得.故选：B21证明见解析【详解】证明：当n为偶数时+得.22证明见解析.【详解】左边=1=右边.即证.23（1）81；（2）证明见解析【详解】（1），展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数，前91项均能被100整除，后两项和为919，又余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为，被100除所得的余数为81（2）证明：，能被100整除【双基达标】1D【详解】展开式通项为，令可得，所以的系数为，故选：D.2C【详解】依题意，的展开式的通项为，令，得，即是二项式的展开式的常数项，所以展开式中的常数项是第5项.故
12、选：C3C【详解】原式(12)n(1)n.4D【详解】，展开式通项为，令，得，因此，二项式展开式中的常数项为，故选：D.5C【详解】展开式的通项为，令可得为常数项，可得，可得，故选：C.6B【详解】因为,四个选项中，只有时，除以10余数是1故选：B7B【详解】因为，且，所以，因为能被13整除，所以能被13整除，所以，故选：B8【详解】故答案为：9【详解】展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，故答案为：10【详解】因为的通项公式为，若得到常数项，当取时，令，当取时，令，解得或（舍），所以，因为展开式的常数项为，所以，解得故答案为：11（1） ；（2）6【详解】（1）在（x2）n的展开式中，第9
13、项为常数项，而第9项的通项公式为 T928nx2n16x428nx2n20，故有 2n200，解得 n10则展开式的通项公式为 Tr+12r10x202r（1）r（1）r2r10令205，求得r6，故展开式中x5的系数为（3）由20 为整数，可得r0，2，4，6，8，10，故含x的整数次幂的项的个数为612（1）264（2）或.【详解】(1)设第项为，令解得，故展开式中含项的系数为. (2)第项的二项式系数为，第项的二项式系数为， ，故或，解得或.13（1）（2）展开式中的有理项共有3项【详解】（1）二项式展开式的通项为第7项为常数项，（2）由（1）知，若为有理项，则为整数，为6的倍数，共三个
14、数，展开式中的有理项共有3项.14【详解】由，可得展开式中含的项为： .15（1）9；（2）T218x3，9.【详解】（1）因为，依题意得，所以，所以n281，又nN*，故n9；（2）设第k1项含x3项，则，所以，k1，所以含x3的项为二项式系数为16（1） ；（2） ；（3） 【详解】（1）的展开式中第项为，所以（2）当时，的展开式的第项为依题意，令，得，故展开式中的常数项为（3）由（1）及，得，从而，即【高分突破】1C【详解】二项式的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项，故选：C2A【详解】(31)n4n，a4n1，当时，而，故此时除以15的余数为3.故选：A.3B【详解】展开
15、式的通项为，令，解得，所以故选：B4B【详解】展开式的通项为，当，即时，当，即时，故（x2+2）的展开式中常数项是.故选：B.5A【详解】的展开式中，通项公式为，令，求得，可得常数项为，求得.故选：A6C【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，当时，可得，所以A符合题意；当时，可得，所以B符合题意；当时，可得，所以C不符合题意；当时，可得，所以D符合题意，故选：C.7C【详解】展开式的通项公式为：；令；故展开式中含的项是第6项. 故选：C.8B【详解】依题意，的二项展开式通项：，于是有：，整理得，即，而，解得，所以的值为8.故选：B9【详解】因为展开式的通项为令，可得常数项是.故答案为：.10
16、7【详解】二项式的展开式的通项，由得，则，所以所求常数项是7.故答案为：711【详解】的通项公式为，的常数项为：.故答案为：12(1)(2)(3)【详解】(1)=(2)=(3)=13【详解】的展开式通项为，前3项的系数分别为，因为前3项的系数成等差数列，所以，即，解得（舍去）或，则，令，解得，所以展开式中x的一次项为.14（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）当时，的展开式可看成4个相乘，每个中取x，1中的一个，将其分别相乘构成展开式的每一项，所以要得到常数项，只需取2个x，2个或1个，1个 ，2个1或4个1，所以（2）当时，的展开式可看成10个相乘，每个中取x，1中的一个，将其分别相乘构成
17、展开式的每一项所以要得到，共有种取法，所以有个同理，要得到，共有种取法，所以有个，故与的系数相同15（1）；（2）.【详解】由二项式知：展开式通项为，第5项与第3项的二项式系分别为、，故，整理得，又，解得.所有偶数项的二项式系数的和为，可得.前三项的二项式系数为，解得.（1）由上知：展开式通项为，当，有时，常数项为.（2）由上知：的展开项通项为，故展开式中系数绝对值为，由题设，解得，即第7项系数绝对值最大，.16（1）（2）（3），【详解】（1）因为的展开式的通项公式为，所以由前三项系数的绝对值成等差数列可得，解得或（舍去），所以（2）令可得，所以常数项为（3）设的展开式中系数最大的项为，则，化简得，解得所以展开式中系数绝对值最大的项为， 25原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司
