1、 考场号_ 考试号_ 学号_ 班级_ 姓名_ 密封线内不要答题江苏省扬州中学20142015学年第二学期期中考试 高二（理科）数学试卷 2015.4 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.若复数，则= . 2. 用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是 .3已知,且,则= . 4.已知三棱锥O-ABC，点G是ABC的重心。设，那么向量用基底，可以表示为 . 5.将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有 种。（用数字作答） 6. 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则
2、有 种选法（用数字作答）7一种报警器的可靠性为，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 8用数学归纳法证明“，1”时，由1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是 9若，则最大值为_10.边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为 .11展开式中的一次项系数为 12已知，则= .13.已知关于实数的方程组没有实数解，则实数的取值范围为 . 14.设是关于的方程的两个根，则的值为 .二、解答题（本大题共6道题，共计90分）15(本小题满分15分)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)16(本小题满分15分)设z是虚数，是实数，且.（1）求|z|的值；（2）
3、求z的实部的取值范围17(本小题满分15分)如图，四边形是正方形，与均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值. 18(本小题满分16分)设函数,（1）求的展开式中系数最大的项； （2）若（为虚数单位）,求19(本小题满分16分)电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点（1）直接写出跳两步跳到的概率；（2）求跳三步跳到的概率；（3）青蛙跳五步，用表示跳到过的次数，求随机变量的概率分布20. (本小题满分16分) 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“的定义域为R；方程有实数根；函数的
4、导数满足”.（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）证明：方程只有一个实数根； （3）证明：对于任意的,，当且时，. 命题：高一数学组江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理科）卷答案一.填空题：1. 2. 3. 0 4. 5. 240 6. 310 7. 8. 9.2 10. 36 11. 55 12. 28 13. 14. 二解答题：15证明：n1时，左边12223，右边3，等式成立 6 1516解：（1）设zabi（a,bR且b0）则（2） 8 1517（1）证明：是的中点，且， . 与均是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，. ，平面，平面， 平面.
5、平面， . 四边形是正方形， . ，平面，平面， 平面. 平面， . ，平面，平面， 平面. 平面， . 6（2）解法1：作于，连接， 平面，平面 . ，平面，平面， 平面. 平面， . 为二面角的平面角.设正方形的边长为，则， 在Rt中， 在Rt中，在Rt中， . 二面角的平面角的正弦值为. 15解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ， 建立空间直角坐标系，设，则，,.，.设平面的法向量为，由 得令 ，得， 为平面的一个法向量. 平面，平面， 平面平面.连接，则. 平面平面，平面， 平面. 平面的一个法向量为.设二面角的平面角为， 则. . 二面角的平面角的正弦值为. 1518解
6、：（1）展开式中系数最大的项是第4项； 6（2）由已知，两边取模，得，所以.所以=而 所以 1619解：将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为.（1）P； 4（2）PP（0123）1； 10（3）X0,1，2. P（X1）P（010123）P（012123）P（012321）11111，P（X2）P（012323）11 ，P（X0）1P（X1）P（X2）或P（X0）P（010101）P（010121）P（012101）P（012121）11111111，X012p1620.解：（1）易证函数满足条件，因此 4（2）假设存在两个实根，则，不妨设，函数为减函数，,矛盾.所以方程只有一个实数根 10（3） 不妨设，为增函数，又函数为减函数，即，16
