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《全国百强校》江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 WORD版含答案.doc

1、 考场号_ 考试号_ 学号_ 班级_ 姓名_ 密封线内不要答题江苏省扬州中学20142015学年第二学期期中考试 高二(理科)数学试卷 2015.4 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.若复数,则= . 2. 用数学归纳法证明,在验证n=1成立时,等式左边是 .3已知,且,则= . 4.已知三棱锥O-ABC,点G是ABC的重心。设,那么向量用基底,可以表示为 . 5.将3名男生和4名女生排成一行,甲、乙两人必须站在两头,则不同的排列方法共有 种。(用数字作答) 6. 某医院有内科医生5名,外科医生6名,现要派4名医生参加赈灾医疗队,如果要求内科医生和外科医生中都有人参加,则

2、有 种选法(用数字作答)7一种报警器的可靠性为,那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 8用数学归纳法证明“,1”时,由1不等式成立,推证时,左边应增加的项数是 9若,则最大值为_10.边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数为 .11展开式中的一次项系数为 12已知,则= .13.已知关于实数的方程组没有实数解,则实数的取值范围为 . 14.设是关于的方程的两个根,则的值为 .二、解答题(本大题共6道题,共计90分)15(本小题满分15分)求证:12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)16(本小题满分15分)设z是虚数,是实数,且.(1)求|z|的值;(2)

3、求z的实部的取值范围17(本小题满分15分)如图,四边形是正方形,与均是以为直角顶点的等腰直角三角形,点是的中点,点是边上的任意一点.(1)求证:;(2)求二面角的平面角的正弦值. 18(本小题满分16分)设函数,(1)求的展开式中系数最大的项; (2)若(为虚数单位),求19(本小题满分16分)电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳,每步从一顶点跳到相邻的顶点(1)直接写出跳两步跳到的概率;(2)求跳三步跳到的概率;(3)青蛙跳五步,用表示跳到过的次数,求随机变量的概率分布20. (本小题满分16分) 设M是由满足下列条件的函数构成的集合:“的定义域为R;方程有实数根;函数的

4、导数满足”.(1)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;(2)证明:方程只有一个实数根; (3)证明:对于任意的,,当且时,. 命题:高一数学组江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理科)卷答案一.填空题:1. 2. 3. 0 4. 5. 240 6. 310 7. 8. 9.2 10. 36 11. 55 12. 28 13. 14. 二解答题:15证明:n1时,左边12223,右边3,等式成立 6 1516解:(1)设zabi(a,bR且b0)则(2) 8 1517(1)证明:是的中点,且, . 与均是以为直角顶点的等腰直角三角形, ,. ,平面,平面, 平面.

5、平面, . 四边形是正方形, . ,平面,平面, 平面. 平面, . ,平面,平面, 平面. 平面, . 6(2)解法1:作于,连接, 平面,平面 . ,平面,平面, 平面. 平面, . 为二面角的平面角.设正方形的边长为,则, 在Rt中, 在Rt中,在Rt中, . 二面角的平面角的正弦值为. 15解法2:以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴 , 建立空间直角坐标系,设,则,,.,.设平面的法向量为,由 得令 ,得, 为平面的一个法向量. 平面,平面, 平面平面.连接,则. 平面平面,平面, 平面. 平面的一个法向量为.设二面角的平面角为, 则. . 二面角的平面角的正弦值为. 1518解

6、:(1)展开式中系数最大的项是第4项; 6(2)由已知,两边取模,得,所以.所以=而 所以 1619解:将A标示为0,A1、B、D标示为1,B1、C、D1标示为2,C1标示为3,从A跳到B记为01,从B跳到B1再跳到A1记为121,其余类推.从0到1与从3到2的概率为1,从1到0与从2到3的概率为,从1到2与从2到1的概率为.(1)P; 4(2)PP(0123)1; 10(3)X0,1,2. P(X1)P(010123)P(012123)P(012321)11111,P(X2)P(012323)11 ,P(X0)1P(X1)P(X2)或P(X0)P(010101)P(010121)P(012101)P(012121)11111111,X012p1620.解:(1)易证函数满足条件,因此 4(2)假设存在两个实根,则,不妨设,函数为减函数,,矛盾.所以方程只有一个实数根 10(3) 不妨设,为增函数,又函数为减函数,即,16

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