1、 5.7 数列的综合问题一、学习目标1.巩固等差数列、等比数列的知识；2.巩固数列通项公式的求法；3.巩固数列前项和的求法；4初步体会数列中的不等式问题.二、知识要点常见题型：1. 数列的通项和求和问题；2.与数列相关的不等式问题；3.数学文化中的数列题三、典例分析例1（1）如图，“数塔”的第行第个数为(其中，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，记作数列，设的前项和为.若，则（ ）A46 B47C48D49（2）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起
2、于差异的对立，美的本质在于和谐他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究如图所示，图形的点数分别为，按此规律类推下去，第个图形对应的点数为_，若这些数构成一个数列，记为数列，则_【答案】（1）C； （2）， . 解析：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1，2，4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以.（2）记第个图形的点数为，由题意知，累加得，即，所以又，所以例2设数列的前项和为.已知，.（）求通项公式； （）求数列|的前项和.【答案】（）由题意得，则又当时，由，得，于是.（）设，.当时，由
3、于，故.设数列的前项和为，则.当时，所以例3已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；综上所述，.例4已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与； （2）设记数列的前项和为.（i）求； （ii）求正整数，使得对任意，均有【答案】（1） 由题意，知，又有，得公比（舍去），所以，即，故；（2）（i）由（1）知，所以；（ii）因为；当时，而，得，所以当时，综上对任意恒有，
4、故例5.已知数列满足，（1） 若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（2） 若为等差数列，公差，证明：，【答案】（1）依题意，而，即，由于，解得，所以，于是，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，即（）.所以，又，符合，故.（2）设，由于，所以，故.又，而，故，所以.由于所以，所以，即， .例6设等差数列的前项和为，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）记 证明：【答案】（1）由题意得，解得，则数列的通项公式为，.则成等比数列，即：，即，故.（2），则.四、 课外作业1已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则ABCD【答案】B2已知数列的前n
5、项和，第k项满足，则（ ）A9 B8 C7 D6【答案】B3已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）A9 B10C11D12【答案】C4在等差数列中，记，则数列（ ）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】B5 已知等差数列的前项和，公差，记，下列等式不可能成立的是（ ）A B C D【答案】D6几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项
6、是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A440 B330 C220 D110【答案】A解析：由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.7在正项等比数列中，. 则满足的最大正整数的值为_.【答案】128请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：为无穷数列；为单调递增数列；.这个数列的通项公式可以是_.【答案】.9设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_【答案】410.如图，
7、互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_.【答案】解析：，设，则，由相似可知，所以11已知等差数列满足：，且、成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）设数列的公差为，依题意，解得或，当时，；当时，所以或.（2）当时，显然，不存在正整数，使得.当时，令，解得或（舍），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.12.正项数列的前项和满足：（1）求数列的通项公式； （2）令，数
8、列的前项和为，证明：对于任意的，都有 .【答案】（1）由题意得，解得或，因为数列都是正项，于是；（2）因为，所以，故，所以对于任意，数列的前项和.13设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：【答案】由题意得，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得， ，得 ，故， 所以，所以.14已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项.（）设 求证：数列是等差数列；（）设 ，求证：.【答案】（）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（）证明：所以.15已知是各项均为正数的等比数列，且（）求数列的通项公式；（
9、）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.【答案】（）设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为，所以，因此数列的通项公式为.（）过向轴作垂线，垂足分别为,由（）得记梯形的面积为.由题意，所以+=+ 又+ -得， 所以.16 在已知确定的内部进行以下操作：第1次取1个点，连接得到个三角形；第2次在得到的个三角形中选2个，在其内部各取1个点分别为，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把划分总共得到个不同的三角形；第3次在得到的个三角形中选3个，在其内部各取1个点分别为，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把划分总共得到个不同的三角形；，第次在得到的个三角形中选个，在其内部各取1个点分别为，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把划分总共得到个不同的三角形.（）求数列的通项公式；（）构造数列，求证：.【答案】（），一个三角形内部取一个点，并连接三个顶点之后可以得到3个三角形，也就是在原来的基础上多了2个三角形,累加可得；（）.
