1、5.1.1对顶角基础知识1、对顶角的定义：一般的，两条直线相交形成两对对顶角。其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。2、对顶角的性质：对顶角相等。例题例如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分BOD，OF平分COE（1）若AOC76，求BOF的度数；（2）若BOF36，求AOC的度数；（3）请探究AOC与BOF的数量关系【答案】（1）33；（2）72；（3）【分析】（1）根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，则即可求得，再根据角平分线的定义求得，最后根据求解（2）利用角平分线定义得出，进而表示出各角求出答案（3）由（1）知，计算即可求解【详解】解：（1），又
2、平分，平分，（2）平分，平分，设，则，故，则，解得：，故（3）由（1）知，即【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键练习1下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ）ABCD2如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）A1和2 B2和3 C2和4 D1和53如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC若BOD42，则EOD的度数为（）A96B94C104D1064如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（ ）A75B80C100D1205已知1与2是对顶角，1与3是邻补角，则2+3的度数为（）A90B180C270D3606如图，三条直线、相交于一点O，则_度
3、7若和是对顶角，与互补，则_，1与的关系是_8如图，直线a、b相交，136，则23_9如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分AOC，MON90若BOD80，则BON的度数为_10如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOC，COF=90，若BOD：BOE=1：2，则AOF的度数为_11如图两条直线a，b相交（1）如果1=60，求2，3，4的度数；（2）如果23=31，求2，3，4的度数12如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分EOD（1）若EOC110，求BOD的度数；（2）若BOE：EOC1：3，求AOC的度数；（3）在（2）的条件下，画OFCD，请直接写出EOF的度数13如图，直
4、线、相交于点O，已知，射线 把分成两个角，且：（1）求的度数；（2）过点O作射线，求的度数14如图，直线AB，CD相交于点O，OFCD，OE平分BOC（1）若BOE65，求DOE的度数；（2）若BOD：BOE2：3，求AOF的度数15如图，直线、相交于点，射线在内，（1）若平分，求；（2）若，求参考答案1A【分析】根据“如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角”可进行排除选项【详解】解：由对顶角的定义可知A选项符合题意，B、C、D都不是对顶角；故选A【点睛】本题主要考查对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键2C【分析】根据对顶角的定义，
5、即可求解【详解】解：A、1和2是同位角，故本选项不符合题意；B、2和3是邻补角，故本选项不符合题意；C、2和4是对顶角，故本选项符合题意；D、1和5不是对顶角，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角是解题的关键3A【分析】根据对顶角相等可得AOCBOD42，由于OA平分COE，可得AOE的度数，再由平角的定义可求出EOD的度数【详解】解：AOCBOD，BOD42，AOC42，OA平分EOC，AOEAOC42，EOD180（AOEBOD）180（4242）96故选：A【点睛
6、】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质解决本题的关键是熟记对顶角相等4A【分析】根据对顶角相等可得：1=2=30，从而得BOC=150，进而即可求解【详解】解：1+2=60，1=2，1=2=30，BOC=180-30=150，平分，=150=75故选A【点睛】本题主要考查角平分线的定义，对顶角相等以及平角的意义，掌握角的和差倍分关系是解题的关键5B【分析】根据对顶角的性质：对顶角相等，邻补角的性质：邻补角互补，进行求解即可.【详解】解：1与2是对顶角，12，1与3是邻补角，1+3180，2+3180故选B【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握对顶角与邻补角的性
7、质.6180【分析】根据对顶角相等得到1=4，再根据平角的定义即可得到结果【详解】1=4，1+2+3=4+2+3=180故答案为：180【点睛】本题考查了对顶角的性质及平角，熟记对顶角相等是解题的关键7 互补 【分析】根据互补的性质，可得2，根据对顶角的性质，可得1，则1+3=180可得1与3的关系【详解】解：2与3互补，3=40，2=180-3=180-40=140，1和2是对顶角，1=2=140；1+3=140+40=180，1与3的关系是互补故答案为：140；互补【点睛】本题主要考查了对顶角的性质以及补角的定义，熟记对顶角和补角的性质是解题的关键8108【分析】根据对顶角、邻补角的性质及
8、136可求出2和3的度数，进而能得出23的值【详解】解：直线a、b相交，136，3136，21801144，2314436108故答案为：108【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角，解题的关键在于能够熟练掌握两个知识进行求解9【分析】先根据对顶角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得【详解】解：，平分，故答案为：【点睛】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题关键1054【分析】根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可【详解】解：OE平分BOC，BOD：BOE：EOC=1：2：2，BOD=36，AOC=36，又COF=90，AOF=9
9、0-36=54故答案为：54【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180是解题的关键11（1）3=2=120，4=60；（2）2=3=108，4=72【分析】（1）根据邻补角的定义求出2，再根据对顶角相等可得3=2，4=1；（2）邻补角的定义可得1+3=180，然后求出1、3，再根据对顶角相等解答【详解】解：（1）1=60，2=180-1=180-60=120，3=2=120，4=1=60；（2）1+3=180，23=31，1=72，3=108，2=3=108，4=1=72【点睛】本题考查了对顶角相等，互为邻补角的两个角的和等于180，是基础
10、题，熟记概念是解题的关键12（1）；（2）；（3）或【分析】（1）由邻补角定义解得，再根据角平分线的性质解得即可；（2）设，由角平分线性质及平角定义，列式，解得，再根据对顶角相等解题；（3）画OFCD，分两种情况讨论，再根据角的和差性质解题【详解】解：（1）EOC110 OB平分EOD；（2）BOE：EOC1：3，设， OB平分EOD（3）分两种情况讨论，第一种情况，作OFCD，如图在（2）的条件下，；第二种情况，作OFCD，如图在（2）的条件下，综上所述，或【点睛】本题考查角的和差、角平分线的性质、邻补角等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键13（1）；（2）或【分析】（1）根据对顶角可
11、得，然后根据比例计算即可得出答案；（2）先求出，再分OF在的内部时，和OF在的内部时，两种情况进行讨论，即可得出答案【详解】解：（1）直线AB、CD相交于点O，又（2）如图 当OF在的内部时，；当OF在的内部时，；综上所述，或【点睛】本题考查了对顶角相等的性质、角的计算，熟练掌握概念并准确识图是解决本题的关键14（1）115；（2）45【分析】（1）根据角平分线的定义，得出EOCBOE65，利用邻补角定义求出DOE即可；（2）根据角平分线的定义，BOD：BOE2：3，求出BOD，再根据对顶角可求出AOC，利用垂直，求出AOF【详解】（1）OE平分BOC，BOE=65，EOC=BOE=65，DO
12、E=180-EOC=180-65=115；（2）OE平分BOC，EOC=BOE，BOD:BOE=2:3，设BOD=x，则COE=BOE=，COE+BOE+BOD=180，x=45，OFCD，BOD=AOC，BOD=AOC=45，COF=90，AOF=COF-AOC=90-45=45.【点睛】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，垂直定义，角的计算等；正确找出各个角之间的关系是正确计算的关键15（1）145；（2）138【分析】（1）由对顶角和邻补角的定义，得到，再由角平分线定义，即可求出答案；（2）根据比例可知，先求出，然后即可得到答案【详解】解：（1） ， ，平分， ；（2）， ，【点睛】本题考查了对顶角相等，角平分线定义，角度的数量关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出所需角的度数
