1、巩固层知识整合提升层题型探究一元二次不等式的解法探究问题1当a0时，若方程ax2bxc0有两个不等实根，且0的解集是什么？提示借助函数f(x)ax2bxc的图象可知，不等式的解集为x|x2若探究1中的a0的解集是什么？提示解集为x|x3若一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac0的解集是什么？提示当a0时，不等式的解集为R；当a0，得x2.对于方程2x2(2k5)x5k0有两个实数解x1，x2k.(1)当k，即k时，不等式的解集为，显然2(k，).(2)当k时，不等式2x2(2k5)x5k0的解集为.(3)当k，即k时，不等式的解集为.不等式组的解集由或确定原不等式组整数解只有2，2k3，
2、故所求k的范围是3k2.（变条件，变结论）若将例题改为“已知aR，解关于x的不等式ax22xa0”解（1）若a0，则原不等式为2x0（2）若a0，44a2.当0，即0a1时，方 程ax22xa0的两根为x1原不等式的解集为当0，即a1时，原不等式的解集为.当1时，原不等式的解集为.（3）若a0，即1a0，原不等式的解集为x|xR且x1当0，即a1时，原不等式的解集为R.综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0a0；当1a0时，原不等式的解集为当a1时，原不等式的解集为x|xR且x1；当a0(a0)或ax2bxc0)的形式；求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次
3、不等式的解集(2)含参数的一元二次不等式解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的不等式恒成立问题【例2】已知不等式mx2mx10.(1)若xR时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x1，3时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题解(1)若m0，原不等式可化为10，显然恒成立；若m0，则不等式mx2mx10 恒成立解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4，0.(2)令f(x)mx2mx1，当m0时，f(x)10时，若
4、对于x1，3不等式恒成立，只需即可，解得m，0m.当m0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x，若x1，3时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)0即可，解得mR，m0符合题意综上所述，实数m的取值范围是(，).(3)令g(m)mx2mx1(x2x)m1，若对满足|m|2的一切m的值不等式恒成立，则只需即解得x.实数x的取值范围是(，).对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元(2)分离参数法若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)max.(3)数形
5、结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化1设f(x)mx2mx6m，(1)若对于m2，2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)0，所以g(m)在2，2上递增，所以欲使f(x)0恒成立，需g(m)maxg(2)2(x2x1)60，解得1x2.(2)法一：要使f(x)m(x2x1)60在1，3上恒成立，则有m在1，3上恒成立，而当x1，3时，所以m，因此m的取值范围是.法二：当m0时，f(x)60，则f(x)在1，3上单调递增，要使f(x)0对x1，3恒成立，只需f(3)0即7m60，所以0m.若m0，则f(x)在1，3上单调递减，要使f(x)0对
6、x1，3恒成立，只需f(1)0即m6，所以m0.综上可知m的取值范围是.线性规划问题【例3】已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，则m 思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m，故需讨论m的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m的值.1作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若m0，目标函数zxmy可看作动直线yx，若m0，数形结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷
7、多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数zxmy取得最小值，即1，则m1.综上可知，m1.1线性规划在实际中的类型主要有(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少2解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案2制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要
8、考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目由题意，知目标函数zx0.5y.画出可行域如图中阴影部分作直线l0：x0.5y0，并作平行于l0的一组直线x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值由得即M(4，6).此时z40.567(万元).当x4，y6时，z取得最大值，即
9、投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大利用基本不等式求最值【例4】设函数f(x)x，x0，).(1)当a2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0a0，0，x12，当且仅当x1，即x1时，f(x)取等号，此时f(x)min21.(2)当0a1时，f(x)x11若x12，则当且仅当x1时取等号，此时x10，b0)解“定积求和，和最小”问题，用ab解“定和求积，积最大”问题(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)x(k0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方
10、法和对等号能否成立的验证3某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解(1)设每件定价为t元，依题意，有8(t25)0.2t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元
