1、第2课时等差数列前n项和的综合应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握an与Sn的关系并会应用(难点)2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点)3.会求等差数列前n项和的最值(重点)4.会用裂项相消法求和(易错点)1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习,体现了数学建模素养2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和,培养数学运算素养1Sn与an的关系an2等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中,其前n项和为Sn,则an中连续的n项和构成的数列Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n,构成等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a,b为常数).思考:如果an是等
2、差数列,那么a1a2a10,a11a12a20,a21a22a30是等差数列吗?提示(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d,类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10,a11a12a20,a21a22a30是等差数列3等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值(2)若a10,d0,d0,则S1是Sn的最小值;若a10,d0,则S1是Sn的最大值思考:我们已经知道当公差d0时,等差数列前n项和是关于n的二次函数Snn2n,类比二次函数的最值情
3、况,等差数列的Sn何时有最大值?何时有最小值?提示由二次函数的性质可以得出:当a10时,Sn先减后增,有最小值;当a10,d0时,Sn先增后减,有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值1设等差数列an的前n项和为Sn,且Snn22n,则()A当n的值为1时,Sn有最大值1B当n的值为1时,Sn有最小值1C当n的值为2时,Sn有最大值0D当n的值为2时,Sn有最小值0B因为Snn22n(n1)21,所以当n的值为1时,Sn有最小值1.2等差数列an中,S24,S49,则S6 15由S2,S4S2,S6S4成等差数列得2(S4S2)S2(S6S4),解得S615.3已知数列an的通项公
4、式是an2n48,则Sn取得最小值时,n为 23或24由an0即2n480得n24.所有负项的和最小,即n23或24.4.若等差数列an的前n项和为SnAn2Bn,则该数列的公差为 2Aa1S1AB,a2S2S1(4A2B)(AB)3AB,da2a12A.等差数列前n项和的性质【例1】(1)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求数列an的前3m项的和S3m;(2)两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,已知,求的值解(1)在等差数列中,Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列30,70,S3m100成等差数列27030(S3m100),S3m210.(2).等差数列前n
5、项和计算的几种思维方法(1)整体思路:利用公式Sn,设法求出整体a1an,再代入求解(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设SnAn2Bn(A0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设anb(a0)进行计算1(1)等差数列an中,a2a7a1224,则S13 (2)等差数列an的通项公式是an2n1,其前n项和为Sn,则数列的前10项和为 (1)104(2)75(1)由a2a7a1224,得a78,所以S1313a713104.(2)因为an2n1,所以a13.所以Snn22n,所以n2,所以是公差为1,首项为3的等差数列,所以前10项和为310175.等差数列前n项
6、和Sn的函数特征探究问题1将首项为a12,公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数,那么这个函数有什么结构特征?如果一个数列的前n项和为Sn3n2n,那么这个数列是等差数列吗?上述结论推广到一般情况成立吗?提示首项为2,公差为3的等差数列的前n项和为Sn2nn2n,显然Sn是关于n的二次型函数且常数项为0,二次项系数为,一次项系数为a1;如果一个数列的前n项和为Sn3n2n,那么当n1时,S1a14.当n2时,anSnSn16n2,则该数列的通项公式为an6n2,所以该数列为等差数列,事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数,且常数项为0,反之,一个数列的前n项和具备上述
7、特征,该数列一定是等差数列2已知一个数列an的前n项和为Snn25n,试画出Sn关于n的函数图象你能说明数列an的单调性吗?该数列前n项和有最值吗?提示Snn25n,它的图象是分布在函数yx25x的图象上的离散的点,由图象的开口方向可知该数列是递增数列,图象开始下降说明了an前n项为负数由Sn的图象可知,Sn有最小值且当n2或3时,Sn最小,最小值为6,即数列an前2项或前3项和最小【例2】数列an的前n项和Sn33nn2,(1)求an的通项公式;(2)问an的前多少项和最大;(3)设bn|an|,求数列bn的前n项和Sn.思路探究:(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1
8、,d,从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一:(公式法)当n2时,anSnSn1342n,又当n1时,a1S1323421满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二:(结构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以an是等差数列,由Sn的结构特征知解得a132,d2,所以an342n.(2)法一:(公式法)令an0,得342n0,所以n17,故数列an的前17项大于或等于零又a170,故数列an的前16项或前17
9、项的和最大法二:(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图象可知:当n17时,an0,当n18时,an0,故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知,当n17时,an0;当n18时,an0,由得又nN*,当n13时,Sn有最大值169.法三:S9S17,a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a10,d0,a140;当n35时,an0,d0,则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中,Sn是其前n项和,则有S2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A5B4C3D2C由题知S偶S奇5d,d3.3等差数列an的前n项和为Sn,且Sn,则 Sn,2,因此2.4已知数列an的前n项和公式为Snn230n.(1)求数列 an的通项公式an;(2)求Sn的最小值及对应的n值解(1)Snn230n,当n1时,a1S129.当n2时,anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也适合,an2n31,nN*.(2)法一:Snn230n225,当n15时,Sn最小,且最小值为S15225.法二:an2n31,a1a2a1515时,an0.当n15时,Sn最小,且最小值为S15225.