1、第2课时等差数列前n项和的综合应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握an与Sn的关系并会应用(难点)2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点)3.会求等差数列前n项和的最值(重点)4.会用裂项相消法求和(易错点)1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养1Sn与an的关系an2等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中，其前n项和为Sn，则an中连续的n项和构成的数列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，构成等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数).思考：如果an是等
2、差数列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列吗？提示(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列3等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值(2)若a10，d0，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d0，则S1是Sn的最大值思考：我们已经知道当公差d0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Snn2n，类比二次函数的最值情
3、况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？提示由二次函数的性质可以得出：当a10时，Sn先减后增，有最小值；当a10，d0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值1设等差数列an的前n项和为Sn，且Snn22n，则()A当n的值为1时，Sn有最大值1B当n的值为1时，Sn有最小值1C当n的值为2时，Sn有最大值0D当n的值为2时，Sn有最小值0B因为Snn22n(n1)21，所以当n的值为1时，Sn有最小值1.2等差数列an中，S24，S49，则S6 15由S2，S4S2，S6S4成等差数列得2(S4S2)S2(S6S4)，解得S615.3已知数列an的通项公
4、式是an2n48，则Sn取得最小值时，n为 23或24由an0即2n480得n24.所有负项的和最小，即n23或24.4.若等差数列an的前n项和为SnAn2Bn，则该数列的公差为 2Aa1S1AB，a2S2S1(4A2B)(AB)3AB，da2a12A.等差数列前n项和的性质【例1】(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解(1)在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30，70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210.(2).等差数列前n
5、项和计算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式Sn，设法求出整体a1an，再代入求解(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设SnAn2Bn(A0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设anb(a0)进行计算1(1)等差数列an中，a2a7a1224，则S13 (2)等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为 (1)104(2)75(1)由a2a7a1224，得a78，所以S1313a713104.(2)因为an2n1，所以a13.所以Snn22n，所以n2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为310175.等差数列前n项
6、和Sn的函数特征探究问题1将首项为a12，公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？提示首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn2nn2n，显然Sn是关于n的二次型函数且常数项为0，二次项系数为，一次项系数为a1；如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么当n1时，S1a14.当n2时，anSnSn16n2，则该数列的通项公式为an6n2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述
7、特征，该数列一定是等差数列2已知一个数列an的前n项和为Snn25n，试画出Sn关于n的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？提示Snn25n，它的图象是分布在函数yx25x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前n项为负数由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n2或3时，Sn最小，最小值为6，即数列an前2项或前3项和最小【例2】数列an的前n项和Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.思路探究：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1
8、，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当n2时，anSnSn1342n，又当n1时，a1S1323421满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：(结构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17
9、项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16，17.由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an0，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.法三：S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a10，d0，a140；当n35时，an0，d0，则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A5B4C3D2C由题知S偶S奇5d，d3.3等差数列an的前n项和为Sn，且Sn，则 Sn，2，因此2.4已知数列an的前n项和公式为Snn230n.(1)求数列 an的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值解(1)Snn230n，当n1时，a1S129.当n2时，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也适合，an2n31，nN*.(2)法一：Snn230n225，当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.法二：an2n31，a1a2a1515时，an0.当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.