1、山东省文登市2015届高三质量检测 理科数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A考点：集合的运算.2.若复数满足是虚数单位），则的共轭复数所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】试题分析：，对应的点在第四象限.考点：1.复数的概念与几何意义；2.复数的运算.3.已知为不共线的三点，则“”是“是钝角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由得到,即,即，可
2、以得到为钝角，即是钝角三角形；但是钝角三角形时，角可能是钝角或锐角，不一定得到；所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.考点：四种条件的判定.4.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 A. B. C. D.结束输出开始是否【答案】A【解析】试题分析：由程序框图，可得；,，结束循环，输出结果为.考点：1.程序框图；2.裂项抵消法.5.不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，得表示数轴上的点到点的距离之和，易知，当或时，；所以的解集为.考点：1.绝对值的几何意义；2.绝对值不等式.6.设满足约束条件，若目标函数 的最大值为，则的图 象向
3、右平移后的表达式为 A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图像向右平移个单位后得到的解析式为.考点：1.简单的线性规划；2.三角函数图像的变换.7.为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为 A.增函数 B.周期函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】B【解析】试题分析：对于任意整数，都有，所以是周期函数.考点：函数的性质.8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:当正方体如图1放置时，其正视图是侧面,其
4、面积为；当正方体如图2放置时，其正视图为对角面，其面积为，则无论如何放置，其正视图的面积在和，所以选A. 图1 图2考点：几何体的三视图.9.已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.10.已知函数，若，则的取值范围是 A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，不等式化为，即，而，即；当，不等式化为，即，令，则；令，则；当时，即在为减函数，且，所以，即在为减
5、函数，即无限接近0，则；所以的取值范围是.考点：1.分段函数；2.分类讨论思想.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11.已知的取值如下表：从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为 . 【答案】【解析】试题分析：由所给数据，得，将代入到回归方程，得，解得.考点：回归直线过样本点的中心.12.若在内任取一个实数，则使与圆无公共点的概率为 . 【答案】考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.13.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 . 【答案】180【解析】试题分析：因为二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最
6、大，所以展开式中共有11项，即；则的展开式通项为，令，即，即展开式常数项为.考点：1.二项式系数的性质；2.二项式定理.14.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则 的最大值等于 【答案】【解析】试题分析：由题意，得，则，即，所以的最大值为.考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.15.设抛物线的焦点为，直线过与交于两点，若，则的方程为 【答案】【解析】试题分析：由题意，得抛物线的焦点，设，；则由得，即；联立，得，则，解得，又，即，即直线的方程为.考点：1.抛物线的焦半径公式；2.直线与抛物线的位置关系.三、 解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证
7、明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）中所对的边分别为,且.（）求的大小；（）若求的面积并判断的形状.【答案】（1）；（2），等边三角形.考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.三角形的面积公式.17.（本小题满分12分）盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球.（）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；（）若从盒子中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列略；.【解析】试题分析：（1)利用互斥事件有一个发生的概率公式和互相独立事件同时发生的概率公式进
8、行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，利用期望公式求其期望.试题解析：（）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件， 1分则 4分 （）可能取的值是 ， 5分, 6分, 7分， 8分 . 9分的分布列为： 10分 故所求的数学期望为. 12分考点：1.独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前项和为，数列是等比数列，首项，且.（）求数列和的通项公式；（）令，其中，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出的公差为，的公
9、比为利用等差数列、等比数列的通项及求和公式得到关于的方程组，解得即可求解；（2）利用分组求和法和错位相减法进行求解.试题解析：（）设的公差为，的公比为，则，依题意有， 2分解得：或（舍去）， 4分，. 6分（） ， 7分令 -得： 9分， 10分. 12分考点：1.等差数列；2.等比数列；3.分组求和法；4.错位相减法.19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，,是上的动点，且,是的中点.（）若，求证：平面平面；（）若直线与平面所成角的大小为，试求的值.ACBA11C11B11MN【答案】（1）证明略；（2）.【解析】试题分析：（1）：取中点，连结，得到平行四边形和线线平行，利用线面垂直的
10、性质和等边三角形的三线合一证得线线垂直，进而得到线面垂直和面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量进行求解.试题解析：（）证明：取中点，连结，则有与平行且相等.四边形为平行四边形， 1分面,又为等边三角形，平面平面,3分又平面,平面平面.4分（）以为轴，轴，在面内以过点且垂直于的射线为轴建系如图， 6分ACBA11C11B11MN设是平面的一个法向量，则，令 8分 设与面所成角为则10分,化简得或由题意知， . 12分考点：1.空间中线面关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用.20（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的
11、准线，且经过点. （）求椭圆的方程；()若直线的方程为.是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程得到其焦点坐标，即值，代入点即可求解；（2）联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，用坐标表示出，再进行求解.试题解析： (）设方程为，因为抛物线的准线， 1分由点在椭圆上， 3分椭圆C的方程为. 4分 ()由题意知，直线斜率存在.设直线的方程为，代入，得 ， 5分设由韦达定理得. 6分由题意知 8分，代人得 10分 12分 13分考点：1.椭圆的标准方程；2.抛物线的
12、几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.21（本小题满分14分）已知函数，.（）设，求的单调区间；（）若对，总有成立.（1）求的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数，不等式恒成立.【答案】（1）当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；（2）；证明略.【解析】试题分析：（1）求导，确定出导函数的三个零点，讨论与0,1的大小关系确定其单调区间；（2）作差构造函数，利用导数证明函数的最大值非负即可；利用恒成立，将合理放缩：，再利用裂项抵消法进行证明.试题解析：（），定义域为， ， 1分（1）当时，令， 令， ； （2）当时，令，则或， 令， ； 3分 （3）当时，恒成立； （4）当时，令，则或，令， ； 4分综上：当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为. 5分（）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立， 只需. 6分由第（）知： ，显然当时， ，此时对任意，不能恒成立； （或者分逐个讨论） 8分当时，； 综上：的取值范围为. 9分（2）证明：由（1）知：当时，10分即，当且仅当时等号成立.当时，可以变换为， 12分在上面的不等式中，令，则有不等式恒成立. 14分考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立问题；3.放缩法；4.裂项抵消法.
