1、2024届高三年级上学期期初模拟测试（一）数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=xx24，集合B=xxN*且x-1A，则B=（）A0,1B0,1,2C1,2,3D1,2,3,42已知复数z1,z2满足z1+z2=iz1,z22=2i，则z1=（）A1B2C3D53设，均为锐角，则“2”是“sin(-)sin”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下
2、底面半径之比为12，则该圆台体积为（）A78B34C12D225贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体是直棱柱，中间的几何体是棱台，下面的几何体也是棱台，几何体的下底面与几何体的底面是全等的六边形，几何体的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体、的高之比分别为，则几何体、的体积之比为（）ABCD6若0,2,cos21+tan2=38，则cos+6=（）A32B22C12D17已知在RtABC中，CA=CB=2，以斜边AB的中点O为圆心，AB为直径，在点C的另一侧作
3、半圆弧AB，点M在圆弧上运动，则CACM的取值范围为（）A0,2+22B0,4C0,6D2-22,48设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则（）AacbBabcCbacDbc22).过点M2,1作斜率分别为22和-22的两条直线l1，l2，其中l1与C交于P,Q两点，l2与C交于S,T两点，且OP=2OM，则（）AC的离心率为22BST=6C1MP+1MQ=1MS+1MTDP,Q,S,T四点共圆12已知数列an, bn的项数均为k（k为确定的正整数，且k2），若a1+a2+ak=2k-1，b1+b2+bk=3k-1，则（）Aan中可能有k-1项为1Bbn中至多有k项为1Cbnan可能
4、是以32为公比的等比数列Dbnan可能是以2为公比的等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13数列an满足a1=2，an+1=2n+2n+1annN*，则a2022a1+a2+a2021= 14在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC，且APC=BPC=ACB=30，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为 .15已知直线2x-y-2=0与双曲线C：x2-y2=1交于点Ax1,y1，Bx2,y2.Px3,y3为C上一点，且x1x3x2，y1y30恒成立，则m的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列an和等比数列
5、bn满足，a1=2,b1=1,a2+a3=10,b2b3=-a4.(1)求数列an，bn通项公式(2)设数列cn中满足cn=an+bn，求和c1+c3+c5+c2n-118在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinC-sinAsinC+sinB=c-b(1)求B(2)若tanBtanA+tanBtanC=4，求sinAsinC的值19中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻
6、变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为y4.7x9495.2，且销量y的方差sy2=50，年份x的方差为sx2=2(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；(2)该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动汽车购买电动汽车总计男性302050女性153550总计4555100能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?(
7、3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望参考公式；(i)线性回归方程：y=bx+a，其中b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2，a=y-bx；(ii)相关系数：r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2，若r0.9，则可判断y与x线性相关较强；(iii)2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中nabcd附表：0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.82820在四棱锥P-ABCD中，CD/AB,AD=DC=
8、CB=1,AB=2,ACPB(1)证明：平面PAC平面PBC(2)若PBBC，直线PB与平面PAC所成的角为30，求PD的长21已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a0,b0的右焦点为F，左顶点为A，且FA=2+5，F到C的渐近线的距离为1，过点B4,0的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.(1)求双曲线C的标准方程.(2)若直线MB，NB的斜率分别为k1，k2，判断k1k2是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22已知函数f(x)=ex+(2-a)cosx(1)若f(x)在0,+)单调递增，求a的取值范围；(2)当x0时，f(x)a(x-
9、1)+3，求a的取值范围数学期初模拟测试（一）参考答案：1CA=xx24=-2,2，B=xxN*且x-1A，B=1,2,3,2A设z2=a+bia,bR，因为z22=2i，所以a2-b2+2abi=2i，a2-b2=02ab=2解得a=1b=1或a=-1b=-1所以z2=1+i或z2=-1-i.因为z1+z2=iz1，所以z1=z2-1+i当z2=1+i时，z1=1+i-1+i=1+i-1-i-1+i-1-i=-i，则z1=1；当z2=-1-i时，z1=-1-i-1+i=-1-i-1-i-1+i-1-i=i，则z1=1；3C因为，均为锐角，所以02，02时，2-0，由函数y=sinx在-2,2
10、上单调递增，所以sin(-)sin，故“2”是“sin(-)sin”的充分条件.当sin(-)sin时，由02，02，则-2-0，所以-2-，即2，故“2”是“sin(-)sin”的必要条件.综上所述，“2”是“sin(-)sin”的充分必要条件.4A设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为2r，小锥体的高为h，大锥体的高为为2h，则大圆锥的体积即为13(2r)22h=1，整理得13r2h=18，即小圆锥的体积为18所以该圆台体积为1-18=785D设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，则，所以6C因为0,2,cos21+tan2=38，可得31+tan2=8
11、sin2-cos2sin2+cos2=81-tan21+tan2，可得31+tan22=8-8tan2，解得tan2=13，因为0,2，所以tan=33，所以=6，所以cos+6=cos3=12.7A因为直角三角形ABC为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系，其中C0,0,A2,0,B0,2，而以AB为直径的圆的方程为：xx-2+yy-2=0，整理得到：x-12+y-12=2，设Mm,n，则CM=m,n,CA=2,0，故CMCA=2m，因为M在半圆上运动变化，故0m1+2，故CMCA的取值范围为：0,2+22，8C设fx=lnxx,则fx=1-lnxx2,当xe时,fx0,函数单调
12、递减,当0x0,函数单调递增,故当x=e时,函数取得最大值fe=1e,因为a=22-ln2e2=lne22e22=fe22,b=ln22=ln44=f4,c=1e=fe,ee22e时,fx0,函数单调递减,可得f4fe22fe,即bac.9AC对于A，a+b=3,-1，由a+ba=31+-13=0，则a+ba，故A正确；对于B，2a+b=21,3+2,-4=4,2，2a+b=42+22=25，故B错误；对于C，ab=12+3-4=-10，a=12+32=10，b=22+-42=25，则cosa,b=abab=-101025=-22，即向量a,b的夹角为34，故C正确；对于D，b在a方向上的投影
13、向量是aba2a=-1010a=-a，故D错误.10ABC如图，当直线l与x轴垂直时，AB有最小值，且最小值为25，所以A正确；当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为PQ=25，所以B正确.设R6+3cos,3sin，则PQPR=2,-44+3cos,3sin-4=6cos-12sin+24，所以PQPR=65cos+24，所以PQPR的最小值为24-65，所以C正确；当P，C，R三点共线时，PR最大，且最大值为PC+r=42+3，所以D错误；故选：ABC.11ABD依题意OP=2OM=22,2，即P22,2，所以222a2+228=1，解得a=4（负根舍去）.所以椭圆C:x2
14、16+y28=1，则b=c=22,e=224=22.依题意可知直线l1的倾斜角为锐角，且tan=22，由sincos=22sin2+cos2=1解得cos=23,sin=13.直线l2的倾斜角为钝角，且tan=-22，由sincos=-22sin2+cos2=1解得cos=-23,sin=13.设直线l1的参数方程为x=2+23ty=1+13t（t为参数），由2+23t216+1+13t28=1整理得t2+23t-9=0，解得tQ=-33,tP=3（不妨设）.设直线l2的参数方程为x=2-23ty=1+13t（t为参数），由2-23t216+1+13t28=1整理得t2-9=0，解得tS=3,
15、tT=-3（不妨设）.所以ST=tS-tT=6，B选项正确.1MP+1MQ=13+133=439,1MS+1MT=23，C选项错误.333=MPMQ=MSMT=33=9，所以MQMT=MSMP，而SMQ=PMT，所以SMQPMT，所以MSQ=MPT，所以P,Q,S,T四点共圆.（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由MPMQ=MSMT判断出P,Q,S,T四点共圆）所以D选项正确.12AC由题意可得a1+a2+ak=2k-1，a1+a2+ak-1=2k-1-1，-得ak=2k-1，同理可得bk=3k-1，所以数列an, bn中仅有1项为1，因为k2，所以B错误；当k=2时，A正确；bkak=32k
16、-1，所以当k2时，bnan是以32为公比的等比数列，C正确，D错误；1320232021由an+1=2n+2n+1annN*得：an+1an=2n+2n+1，an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a1=2n-1n+1nnn-143322=n+12n-1；设Sn=a1+a2+an，则Sn=220+321+422+n2n-2+n+12n-1，2Sn=221+322+423+n2n-1+n+12n，-Sn=2+21+22+2n-1-n+12n=2+21-2n-11-2-n+12n =2+2n-2-n+12n=-n2n，Sn=n2n，即a1+a2+an=n2n，S2021=2021220
17、21，a2022=202322021，a2022a1+a2+a2021=202322021202122021=20232021.故答案为：20232021.146-22记AB的中点为D，连结PD,CD，过P作PECD交CD的延长线于E，如图，因为AC=BC，D为AB的中点，所以ABCD，因为AC=BC，APC=BPC，PC=CP，所以APCBPC，则PA=PB，又D为AB的中点，所以ABPD，因为CDPD=D,CD,PD面PCD，所以AB面PCD，又PE面PCD，所以ABPE，因为PECD，CDAB=D,CD,AB面ABC，所以PE面ABC，所以PCE为直线PC与平面ABC所成角的平面角，不妨
18、设AC=BC=PC=m，在ABC中，ACB=30，则AB2=AC2+BC2-2ACBCcos30=2-3m2，BD2=12AB2=2-34m2，在RtBCD中，CD2=BC2-BD2=2+34m2，在PBC中，BPC=30，则BC2=PC2+PB2-2PCPBcos30，即m2=m2+PB2-3mPB，故PB=3m，在RtPBD中，PD2=PB2-BD2=3m2-2-34m2=10+34m2，所以在PCD中，cosPCD=PC2+CD2-PD22PCCD=m2+2+34m2-10+34m22m2+34m=-12+3，又1+32=4+23=22+3，则1+3=22+3，即2+3=1+32，所以c
19、osPCD=-12+3=-21+3=-6-22，所以cosPCE=cos-PCD=-cosPCD=6-22，故直线PC与平面ABC所成角的余弦值为6-22.故答案为：6-22.152-33依题意，x1x3x2，y1y3y2由2x-y-2=0x2-y2=1解得x1=1y1=0或x2=53y2=43，所以A1,0,B53,43,AB=232+432=253为定值，由于x1x3x2，y1y30.所以要使2+mfx+2x0恒成立，只需m-2-2xfx=-2x+12x+22x-1恒成立.因为y=2x在x1,2上单增，所以22x4，所以12x-13.令t=2x-1,t1,3.记ht=-2x+12x+22x
20、-1=-t+2t+3t=-t+6t+5-2t6t+5=-26-5（当且仅当t=6t，即t=61,3时2等号成立），所以htmax=-26-5.所以m-26-5.即m的取值范围为-26-5,+.17【详解】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a2+a3=a1+d+a1+2d=4+3d=10，解得d=2，an=a1+n-1d=2+2n-1=2n，b2b3=b1qb1q2=q3=-a4=-8，解得q=-2，bn=b1qn-1=-2n-1，即an=2n，bn=-2n-1；（2）由（1）得cn=2n+-2n-1，c1+c3+c5+c2n-1=a1+a3+a2n-1+b1+b3+b2
21、n-1=na1+a2n-12+b11-q2n1-q2=n2+4n-22+1-22n1-22=2n2+4n3-13.18（1）由asinC-sinAsinC+sinB=c-b，可得asinC-sinA=c-bsinC+sinB，由正弦定理得ac-a=c-bc+b，即a2+c2-b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=12，因为0B0.9，故y与x线性相关较强.（2）零假设为H0：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.2=nad-bc2a+bc+da+cb+d=1003035-20152505045559.0916.635所以依据小概率值=0.01的独立性
22、检验，我们推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（3）11人中，男性车主112055=4人，女性车主113555=7人，则X的可能取值为0，1，2，3，4，故PX=0=C74C114=766，PX=1=C41C73C114=1433，PX=2=C42C72C114=2155，PX=3=C43C71C114=14165，PX=4=C44C114=1330，故X的分布列为：X01234P7661433215514165 1330 EX=0766+11433+22155+314165+41330=1611.20（1）在平面四边形ABCD中，CDAB,AD
23、=DC=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD是等腰梯形，过点C作CEAB于E,因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BE=12,AE=32,CE=BC2-BE2=12-(12)2=32,AC=AE2+CE2=(32)2+(32)2=3，所以AC2+BC2=AB2，所以ACBC， 又ACPB,BCPB=B，BC，PB平面PBC，所以AC平面PBC，又AC平面PAC，所以，平面PAC平面PBC.（2）因为PBBC,ACPB,BCAC=C, BC，AC平面ABCD，所以PB平面ABCD，由（1）知，ACBC，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0
24、,1,0),D(32,-12,0)，因为AC平面PBC，PBBC，可设PB=a(a0),所以P(0,1,a)，则CA=(3,0,0),CP=(0,1,a)，设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则nCA=0nCP=0,即3x=0y+az=0，令y=a，则x=0,z=-1，所以n=(0,a,-1)，因为直线PB与平面PAC所成的角为30，所以sin30=|cosBP,n|=|-aaa2+1|=12，解得a=3或a=-3（舍），所以P(0,1,3)，又D(32,-12,0)，所以PD=(0-32)2+(1+12)2+(3-0)2=6.21（1）由题意得FA=a+c=2+5，F(c,0)，渐近线
25、方程为y=bax，则F(c,0)到渐近线的距离为bca2+b2=bcc=b=1，又因为c2=a2+b2，所以a=2，b=1，c=5，故双曲线C的标准方程为x24-y2=1.（2）设直线l：x=my+4，-2m0，1+a-2sinxex0，即12-asinxex；当a=2时，fx=ex0符合题意，故a=2；当a2时，2-a0，12-asinxex；当a0，12-asinxex.令gx=sinxexx0，gx=excosx-exsinxex2=cosx-sinxex=2excosx+4，当2k-2x+42k+2kZ时，cosx+40，即x2k-34,2k+4kZ，cosx+40；当2k+2x+42
26、k+32kZ时，cosx+40，即x2k+4,2k+54kZ，cosx+40；2ex0，x0，x0,42k-34,2k+4kN*，gx0；x2k+4,2k+54kN时，gx0；所以gx在0,4，2k-34,2k+4kN*上单调递增；在2k+4,2k+54kN上单调递减.由gx=sinxexx0知，分子是一个周期函数，而分母却是一个增函数，不妨把gx看成是振幅越来越小的“类周期函数”，所以gx最值只能出现在第一个周期，如图所示：所以gxmax=g4=12e4，gxmin=g54=-12e54；所以有a212-a-12e54或a212-a12e4，解得2a2+2e54或2-2e4a2；由上知a=2
27、已成立，综上2-2e4a2+2e54，即a的取值范围是2-2e4,2+2e54.（2）由fxax-1+3得，ex+2-acosxax-1+3x0整理得ex+2-acosx-ax-1-30x0，不妨令hx=ex+2-acosx-ax-1-3x0，只需证hx0x0即可；又h0=1+2-a+a-3=0，hx=ex+a-2sinx-a，所以h0=1-a0即a1，下面证a1时符合题意，x0,+时，令hx0恒成立；所以有x0,+时，ex+a-2sinx-a0；变形为a1-sinxex-2sinx，当sinx=1时，00，所以有aex-2sinx1-sinx=ex-21-sinx+2，x0且x2k+2kN；
28、令mx=ex-21-sinx，x0且x2k+2kN，只需求mx的最小值即可.mx=ex1-sinx-ex-2-cosx1-sinx2，令nx=ex1-sinx-ex-2-cosx，x0且x2k+2kN，nx=ex1-sinx+ex-cosx-ex-2sinx-ex-cosx=ex1-sinx-ex-2sinx=ex+2sinx-2exsinx，当x0,ln2时，因为ln2lne=12，所以0sinx1，而ex1，所以有ex+2sinx22exsinx，当且仅当ex=2sinx取等号，所以nx22exsinx-2exsinx=2exsinx2-2exsinx，当x0,ln2时，1ex2exsin
29、x2-2sinx=22exsinx(1-sinx)0所以nx在x0,ln2上单调递增，又n0=1-1-2-1=0，所以nx0，所以mx0，即mx在x0,ln2上单调递增，mxmin=m0=1-21-0=-1；当xln2,+时，ex-22-2=0，即mx=ex-21-sinx0；综上，mxmin=-1，所以a-1+2=1，即当a1时，hx0恒成立，hxh0=0x0，符合题意；所以a的取值范围为-,1.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第一问中分类讨论将参变分离是关键；第二问中自变量的分段讨论；巧妙利用均值不等式得出导数为正是关键点，考查数学转化思想，属于难题.
