1、课时训练(二十)等腰三角形(限时:30分钟)|夯实基础|1.如图K20-1,ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,A=50,则CDE的度数为()图K20-1 A.50B.51 C.51.5D.52.52.2022南充 如图K20-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()图K20-2 A.(1,1) B.(3,1) C.(3,3) D.(1,3)3.2022雅安 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是() A.12B.13 C.14D.12或144.2022淄博 如图K20-3,在RtABC中,CM平分A
2、CB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,若AN=1,则BC的长为()图K20-3 A.4B.6 C.43D.85.2022天津 如图K20-4,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于 BP+EP最小值的是()图K20-4 A.BCB.CE C.ADD.AC6.2022无锡 如图K20-5,RtABC中,ACB=90,ABC=30,AC=2,ABC绕点C顺时针旋转得A1B1C,当A1落在AB 边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )图K20-5 A.7 B.22 C.3 D.237.
3、2022临沂 如图K20-6,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()图K20-6 A.32 B.2 C.22 D.108.2022淮安 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是.9.2022吉林 我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k,若k=12,则该等腰 三角形的顶角为度.10.2022泰州 如图K20-7,已知直线l1l2,将等边三角形如图放置,若=40,则等于.图K20-711.2022遵义 如图K20-8,ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的
4、中点,若CAE=16,则B为度.图K20-812.2022宁波 如图K20-9,在ABC中,ACB=90,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD 绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE. (1)求证:ACDBCE; (2)当AD=BF时,求BEF的度数.图K20-913.2022武汉 如图K20-10,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.图K20-10|拓展提升|14.2022绵阳 如图K20-11,ACB和ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,ACB的顶点A在EC
5、D的斜边DE 上,若AE=2,AD=6,则两个三角形重叠部分的面积为()图K20-11 A.2 B.3-2 C.3-1 D.3-315.2022连云港 如图K20-12,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于 点F. (1)判断ABE与ACD的数量关系,并说明理由; (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图K20-12参考答案1.D解析 AC=CD=BD=BE,A=50,A=CDA=50,B=DCB,BDE=BED.B+DCB=CDA=50,B=25.B+EDB+DEB=180,BDE=BED=12(180-25)=77.5
6、,CDE=180-CDA-EDB=180-50-77.5=52.5,故选D.2.D解析 过点B作BCOA于点C,则OC=1,BC=OB2-OC2=22-12=3.点B的坐标为(1,3).故选D.3.C解析 一元二次方程x2-7x+12=0的两根分别为3,4,所以腰长有两种情况:腰长为3,底边长为6,此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;腰长为4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为4+4+6=14.4.B解析 MNBC,ANM=ACB,NMC=MCB,CM平分ACB,MCB=MCN=12ACB,NMC=NCM,MN=NC,M
7、N平分AMC,AMN=NMC=12AMC,AMN=12ACB=12ANM,A=90,AMN=30,AN=1,MN=2,NC=2,AC=3,B=AMN=30,BC=2AC=6,故选B.5.B解析 由AB=AC,可得ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE,故选B.6.A解析 ACB=90,ABC=30,AC=2,A=90-ABC=60,AB=4,BC=23.CA=CA1,ACA1是等边三角形,AA1=AC=BA1=2,BCB1=ACA1=60.CB=CB1,BCB1是等边三角形,BB1=23,BD=DB1
8、=3,又BA1=2,A1BB1=90,A1D=A1B2+BD2=7.故选A.7.B解析 ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+DCA=90,DAC=ECB,又AC=CB,ACDCBE,CE=AD=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2,故选B.8.10解析 因为2+2=4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长为2,周长=4+4+2=10.9.36解析 如图,在ABC中,AB=AC,设A=,则B=C=12(180-),由k=12,可得12(180-)=2,解出=36.10.20解析 过点A作ADl1,如图,则BAD=40.l1l2,ADl
9、2.DAC=.ABC是等边三角形,BAC=60,=DAC=BAC-BAD=60-40=20.11.37解析 因为AD=AC,E为CD的中点,所以DAC=2CAE=32,所以ADC=12(180-DAC)=74,因为BD=AD,所以B=12ADC=37.12.解:(1)证明:线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,DCE=90,CD=CE.又ACB=90,ACB=DCE,ACD=BCE.在ACD和BCE中,CD=CE,ACD=BCE,AC=BC,ACDBCE.(2)ACB=90,AC=BC,A=45,ACDBCE,AD=BE,CBE=A=45.又AD=BF,BE=BF,BEF=BFE=1
10、80-452=67.5.13.证明:BE=CF,BE+EF=CF+EF,BF=CE.在ABF和DCE中,AB=DC,ABF=DCE,BF=CE,ABFDCE,1=2,GE=GF.14.D解析 过点A作AFCE于点F,设AB与CD的交点为M,过点M作MNAC于点N,如图所示.ECD为等腰直角三角形,CE=CD,E=45.AE=2,AD=6,AF=EF=1,CE=CD=DE2=1+3,CF=3,AC=AF2+CF2=2,ACF=30,ACD=60.设MN=x,ABC为等腰直角三角形,CA=CB,CAB=45,AN=MN=x,又CN=MN3=33x,AC=AN+CN=x+33x=2,解得x=3-3,S阴影=SACM=12ACMN=3-3.故选D.15.解:(1)ABE=ACD.理由如下:因为AB=AC,BAE=CAD,AE=AD,所以ABEACD.所以ABE=ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以ABC=ACB.由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.10
