1、1FECBAD（第 10 题图）常州市第一中学、江阴南菁高中 2022 届高三两校联考 数学试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分）1已知集合2,Aa a，1,1,3B ，且 AB，则实数 a 的值是 2“1a”是“(1)2ax对(1,)x 恒成立”的 .条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）3已知 m，n 为实数，若关于 x 的不等式 x2+mx+n0 的解集为(1，3)，则 m+n 的值为 4函数)0(2cossin3xxxy的值域是 .5已知抛物线 y22px 过点 M(2，2)，则点 M 到抛物线焦点的距离为 6.底面边长为 a 的正四面体的体积为 7
2、已知 F 是椭圆22221xyab（0ab）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆 上一点，PFx 轴.若14PFAF，则该椭圆的离心率是 8已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC的面积为 9已知()f x 是定义在 R 上的函数，且对任意 xR都有(2)(2)4(2)f xfxf，若函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，且(1)3f，则(2015)f .10在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB/DC,ABC=60,BC=12AB=2,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE=BC ，DF=21 DC，则 AE BF 的最小值为 11
3、已知函数()xf xe，对于实数m、n、p 有)()()(nfmfnmf，)()()()(pfnfmfpnmf，则 p 的最大值等于 12已知函数(af xxaxR),lng xx，若关于 x 的方程 22g xf xex(e 为自然对数的底数)只有一个实数根,则a=213设1a，2a，na 是各项不为零的n（4n）项等差数列，且公差0d若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对dan1,所组成的集合为 14已知 P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆2221:()()Oxaybb+1，圆2222:()()Oxcydd+1，若 8,acacbd，则点 P 与直线l：3
4、4250 xy上任意一点 M 之间的距离的最小值为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）15.（本题满分 14 分）在ABC 中，,a b c 分别为角 A、B、C 的对边，若m=(2sin2BC,1）,(2,cos21)nA,且 m n.（1）求角 A 的度数；（2）当2 3a，且ABC 的面积2224 3abcS时，求边c 的值和ABC 的面积。16（本题满分 14 分）已知直三棱柱111ABCABC中，,D E 分别为11,AA CC 的中点，ACBE,点 F 在线段 AB 上，且4ABAF（1）证:
5、1BCC D；（2）若 M 为线段 BE 上一点，试确定 M 在线段 BE 上的位置，使得1/C D平面1B FM A1C1B1ABECDF3 17（本题满分 14 分）如图，相距 14km 的两个居民小区 M 和 N 位于河岸 l（直线）的同侧，M 和 N 距离河岸分别为 10km 和8km现要在河的小区一侧选一地点 P，在 P 处建一个生活污水处理站，从 P 排直线水管 PM，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管 PQ，使小区污水经处理后排入河道设PQ 段长为 t km（0 t 8）（1）求污水处理站 P 到两小区的水管的总长最小值（用 t 表示）；（2）请确定污水处理站 P 的位置，使
6、所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度 18.（本题满分 16 分）已知椭圆 E：x2a2y2b21 过点 D(1，32)，且右焦点为 F(1,0)，右顶点为 A过点 F 的弦为 BC直线 BA，直线 CA 分别交直线 l:xm,(m2)于 PQ 两点(1)求椭圆方程；(2)（2）若 FPFQ，求 m 的值 l河QPNMOFADCBQPxy4 19.（本题满分 16 分）已知函数).1,0(ln)(2aaaxxaxfx（1）求函数)(xf在点)0(,0(f处的切线方程；（2）求函数)(xf单调递增区间；（3）若存在1,1,21xx，使得eexfxf(1)()(21是
7、自然对数的底数），求实数a 的取值范围 20.（本题满分 16 分）在数列na中，11a ，且对任意的*kN,21221,kkkaaa 成等比数列，其公比为kq （1）若kq=2(*kN)，求13521.kaaaa；（2）若对任意的*kN，ka2，12 ka，22 ka成等差数列，其公差为kd，设11kkbq 求证：kb成等差数列，并指出其公差；若1d=2,试求数列kd的前k 项的和kD 一、填空题：11；2充分不必要；35；44,0；5 52；6.3212 a；7 34；815 3；9 3；104 6l3；112ln 2ln3；12.21ee；13(4,4),(4,1)；142.二、解答题：
8、5ABC1B1A1CDEFM15.（本题满分 14 分）【解】：（I）由于m n，所以 m 22222sincos21 1 2cos2cos12coscos122BCAnAAAA (2cos1)(cos1)0AA.3 分 所以1cos2A 或 1（舍去），.5 分 又因为(0,)A.6 分 即角 A 的度数为 23 .7 分（II）由2224 3abcS及余弦定理得：3tan3C，.9 分 又因为(0,)A 6C .10 分 又由正弦定理 sinsinacAC得2c，.12 分 所以 ABC的面积1sin32SacB。.14 分 16（本题满分 14 分）【解】：直三棱柱可知1CC 平面ABC
9、,AC 平面ABC,所以1CCAC，.1 分 又因为1,ACBE CCBEE，1CC 平面 BCE,BE 平面 BCE,AC 面 BCE，故ACBC，.4 分 又在直三棱柱中，11,CCBC ACCCC，AC 平面1ACC,1CC 平面1ACC,故 BC 面11,ACC C D在平面1ACC 内，所以1BCC D.7 分(2)连结 AE，在 BE 上取点 M，使 BE=4ME,.8 分 连结 FM，1B M,F1B，在 BEA中，由 BE=4ME，AB=4AF.10 分 所以 MF/AE，.11 分 又在面 AA1C1C 中，1C EAD且1/C EAD，C1D/AE，又 MF/AE，所以1/
10、C DMF，1C D/平面1B FM，FM 平面1B FM，1/C D平面1B FM.14分 17（本题满分 14 分）【解】：（1）如图，以河岸 l 所在直线为 x 轴，以过 M 垂直于 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系，则可得点(0,10)M，由 MN=14,MO=10,NN=8 点(8 3,8)N .2分 设点(,)P s t，过 P 作平行于 x 轴的直线 m，作 N 关于 m 的对称点 N，则(8 3,28)Nt 6所以 PMPNPMPNMN22(8 30)(128 10)t 2218129(08)ttt 即为所求 .6 分 （2）设三段水管总长为 L，则由（1）知 LPMPNPQ
11、MNPQ2218129(08)tttt ，所以22()4(18129)Lttt，.8 分 即方程223(272)(516)0tLtL在(0,8)t 上有解 .9 分 故22(272)12(516)0LL ，即21863 0LL，解得21L或3L，所以L的最小值为21，此时对应的5(0,8)t .11 分 故(8 3,2)N，MN方程为3103yx，令5y 得5 3x，即(5 3,5)P 从而22(5 3)(5 10)10PM，22(5 38 3)(5 8)6PN.13 分 答：满足题意的 P 点距河岸 5km，距小区 M 到河 岸的垂线5 3 km，此时污水处理站到小区 M 和 N 的水管长度
12、分别为10km和6km .14 分 18.（本题满分 16 分）【解】：（1）1a2 94b21,a2b21,解之得 a24，b23，所以椭圆方程为x24y231；.4 分（2）设 B(x0，y0)，则 BC：y y0 x01(x1)，.5 分 与椭圆 E：x24y231 联立方程组：y y0 x01(x1)，x24y231.4 分 解得xx0，yy0或x85x052x0，y3y052x0，所以C(85x052x0,3y052x0).6 分 kABkAC y0 x023y052x085x052x02 y0 x02 3y0 x02 3y02x0249(1x024)x024 94 .10 分 显然
13、 kABkAP,kACkAQ，所以 kAPkAQ94 .12 分 OFADCBQPxyNm yxOl河QPNM7设 Q(m,y1)，kFQ y1m1 y1m2m2m1m2m1kAQ，同理 kFPm2m1 kAP.14 分 所以 kFP kFQ(m2m1)2kAPkAQ94(m2m1)21,又 m2，所以m2m123，所以 m4.16 分 19.（本题满分 16 分）【解】：因为函数2()ln(0,1)xf xaxxa aa+，所以()ln2lnxfxaaxa+，(0)0f，又因为(0)1f，所以函数()f x在点(0,(0)f处的切线方程为1y .3 分 由，()ln2ln2(1)lnxxfx
14、aaxaxaa+因为当0,1aa时，总有()fx在R上是增函数，.5 分 又(0)0f，所以不等式()0fx的解集为(0,)+，故函数()f x的单调增区间为(0,)+.7 分 因为存在12,1,1x x ，使得12()()e1f xf x成立，而当 1,1x 时，12maxmin()()()()f xf xf xf x，所以只要maxmin()()e1f xf x即可 .8分 又因为 x，()fx，()f x 的变化情况如下表所示：x (,0)0 (0,)+()fx 0 +()f x 减函数 极小值 增函数 所 以()f x 在 1,0上 是 减 函 数，在 0,1 上 是 增 函 数，所
15、以 当 1,1x 时，f x的 最 小 值 min01f xf，f x 的最大值 maxf x为1f 和 1f中的最大值.10分 因为11(1)(1)(1ln)(1ln)2lnffaaaaaaa+，令1()2ln(0)g aaa aa，因为22121()1(1)0g aaaa+，.11 分 所以1()2lng aaaa在0,a 上是增函数而(1)0g，故当1a 时，0g a，即(1)(1)ff；当01a时，0g a，即(1)(1)ff .13 分 所以，当1a 时，(1)(0)e1ff，即lne 1aa，函数lnyaa在(1,)a 上是增函数，解得ea；当01a 时，(1)(0)e1ff，即
16、1lne1aa，函数1lnyaa在(0,1)a上是减函数，解得810ea .15 分 综上可知，所求a的取值范围为1(0,e,)ea+.16 分 20.（本题满分 16 分）【解】：（1）因为2kq，所以21214kkaa，故13521,ka a aa 是首项11a，公比为 4 的等比数列，所以135211 41(41)1 43nnkaaaa .2 分（2）因为ka2，12 ka，22 ka成等差数列，所以 212 ka ka2 22 ka，而21222211,kkkkkkaaaaqq，所以112kkqq，.4 分 所以111111kkkkkqbbqq，即11kkbb，所以 kb成等差数列，其
17、公差为1 .6 分（3）因为12d，所以322aa，即221322aa aa，所以22a 或21a .7 分（）当22a 时，2112aqa，所以1111kbq，所以1(1)1kbkk ，即11kkq，得1kkqk所以2221211()kkkakqak，.9分 222221112()()()(1)11kkkaakkk，212(1)kkkaak kq，所以2121kkkdaak，(21)(3)22kkkk kD .11 分（ii）当21a 时，2111aqa ，所以11112kbq，13(1)122kbkk ，即1312kkq，得1232kkqk所以22212112()32kkkkaqak，.13分 22222111311222()()()(21)3531222kkkaakkk，212(21)(23)kkkaakkq，所以212 42kkkdaak，92(242)22kkkDk .15 分 综合得(3)2kk kD，或22kDk .16分
