1、山东省师范大学附属中学2021届高三数学上学期第一次模拟考试试题(满分:150分 考试时间:120分钟)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足,则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合,集合,则集合( )A. B. C. D. 3. 已知,则的最大值为( )A. 2B. C. D. 4. 若不等式的解集为,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 5. 设,则( )A. B. C. D. 6. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个
2、医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种7. 若幂函数的图象过点,则函数的递增区间为( )A. B. C. D. 8. 设函数,若对于,恒成立,则实数的取值范围( )A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分;部分选对的得3分;有选错的得0分.9. 若复数,其中为虚数单位,则下列结论正确的是( )A. 的虚部为-1B. C. 为纯虚数D. 的共轭复数为10. 下列命题正确的是( )
3、A. “”是“”的必要不充分条件B. 命题“,”的否定是“,”C. 若,则D. 设,“”,是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件11. 关于的说法,正确的是( )A. 展开式中的二项式系数之和为2048B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最小12. 如图直角梯形,为中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,则( )A. 平面平面B. C. 二面角的大小为D. 与平面所成角的正切值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 从某班6名学生(其中男生4人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动,
4、设所选三人中男生人数为,则数学期望_.14. 如图,在正方体中,的中点为,的中点为,异面直线与所成的角是_.15. 在展开式中,的系数为_.16. 关于的方程在上有两个不相等的实根,则实数的取值范围_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 据某市地产数据研究显示,2019年该市新建住宅销售均价走势如图所示,3月至7月房价上涨过快,为抑制房价过快上涨,政府从8月开始采用宏观调控措施,10月份开始房价得到很好的控制.(1)地产数据研究发现,3月至7月的各月均价(万元/平方米)与月份之间具有较强的线性相关关系,试建立关于的回归方程;(2)若政府不调控,依
5、此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.参考数据及公式:,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.18. 如图,在多面体中,四边形是矩形,四边形为等腰梯形,且,平面平面.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积.19. 某新建公司规定,招聘的职工须参加不少于80小时的某种技能培训才能上班,公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据,按时间段,(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.(1)求抽取的200名职工中,参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,并估计从招聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率;(2)从招聘职工(人数很多)中
6、任意选取3人,记为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,试求的分布列和数学期望和方差.20. 设.(1)求函数的单调区间;(2)若,且,求实数的取值范围.21. 如图,在三棱柱中,平面,点,分别在棱和棱上,且,为棱的中点.()求证:;()求二面角的正弦值;()求直线与平面所成角的正弦值.22. 已知函数(为自然对数的底数),直线是曲线在处的切线.(1)求,的值;(2)是否存在,使得在上有唯一零点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.数学检测题答案一、单项选择题1-5:CBACD6-8:CAA二、多项选择题9. ABC 10. BD 11. ACD 12. AC三、填空题13
7、. 2 14. 15. 80 16. 四、解答题17. 解析:(1),所以,.所以从3月份至7月份关于的线性回归方程为.(2)将代入回归方程得,所以预测12月份该市新建住宅的销售均价为1.52万元/平方米.18.(1),平面平面,平面平面,平面,取的中点记为,连接,四边形为平行四边形,即,在三角形中,所以.即.,平面,平面,.(2).19. 解析:(1)依题意,培训时间在小时的人数为,在小时的人数为,故满足题意的概率估计为.(2)依题意,随机变量的可能取值为0,1,2,3,则随机变量的分布列为0123,.20. 解析:(1),当时,在上单调递增;当时,若,则,若,则,所以在上单调递增,在上单调
8、递减.综上,当时,函数在上单调递增当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(2)因为,所以,即恒成立,设在上为减函数,即恒成立.所以,即,设,当,单减,当,单增,所以.21.【详解】依题意,以为原点,分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得、.()依题意,从而,所以;()依题意,是平面的一个法向量,.设为平面的法向量,则,即,不妨设,可得.,.所以,二面角的正弦值为;()依题意,.由()知为平面的一个法向量,于是.所以,直线与平面所成角的正弦值为.22. 解:(1)的导数为,由已知可得,解得,;(2)由(1)可知,则,令,则恒成立,在上单调递减,又,存在唯一的,使得,且当时,即,在上单调递增,在上单调递减,又当时,存在或2,在上有唯零点.