1、河南省郑州市2020届高三数学第三次质量预测试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合则（ ）A. 1，2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，将分别代入函数中，求出的值组成的集合就是集合B，然后再求集合A和集合B的公共元素可得结果.【详解】解：因为所以，所以1，2故选：A【点睛】此题考查了对数的运算，集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z满足则复数z的虚部是（ ）A. iB. -iC. 1D. -1【答案】C【解析】【分析】根据复数z满足得到，再利用复数的乘除法求解.【详解】因为复数z
2、满足所以，所以复数z的虚部是1.故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.函数的部分图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由奇偶性排除，由特殊点排除，从而可得结果.【详解】因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，可排除选项；取，则，可排除，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合
3、题意的选项一一排除.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则角B等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理边化角,再利用三角形中以及三角恒等变换求解即可.【详解】由正弦定理有,又,故,因为,故,即,又,故.故选：A【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦定理边角互化以及三角恒等变换化简的方法.属于基础题.5.两个非零向量满足，则向量与夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件计算得到，再利用夹角公式计算得到答案.【详解】故选：【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力，也可以建立直角坐标系求解.6.下列说法正确的是（
4、）A. 命题、都是假命题，则命题“”为真命题B. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍后得到C. ，函数都不是奇函数D. 函数的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据复合命题的真假可判断A选项的正误；利用三角函数图象变换可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用正弦函数的对称性可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，若命题、都是假命题，则命题“”为假命题，A选项错误；对于B选项，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍后得到，B选项错误；对于C选项，取，则为奇函数，C选项错误；对于D选项，所以，函数的图象关于直线对称，D选项正确.故选：D.【点睛】
5、本题考查命题真假的判断，涉及复合命题、全称命题真假，同时也考查三角函数图象变换以及正弦型函数对称性的判断，考查推理能力，属于中等题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到三棱锥是从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取而来，其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知，该几何体从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取的三棱锥，如图所示：所以其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长：，所以，所以该三棱锥的外接球的体
6、积为，故选：B【点睛】本题主要考查长方体和三棱锥的三视图以及外接球的体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.8.已知直线与抛物线及其准线分别交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若则m等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知直线过抛物线的焦点,得,过做准线 ,垂足为,由与直线倾斜角相等,根据抛物线的定义即可求得,即可求得的值,进而得.【详解】抛物线的焦点,因为所以直线过抛物线的焦点,所以,即,过做准线 ,垂足为,由抛物线的定义,由与直线倾斜角相等且则 ,则,因为直线的斜率,即 故选：B【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义和同角三角函数
7、的关系,属于中档题9.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数可知函数在区间上为增函数，由此可知该函数在区间上也为增函数，且有，进而可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】，当时，所以，函数在区间上为增函数，由于该函数在上是单调函数，则该函数在上为增函数，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.将函数图象向右平移个单位长度可得函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）A B. C.
8、D. 【答案】A【解析】【分析】求出平移后函数解析式，由图象关于原点对称，即函数为奇函数，结合诱导公式可得，从而得出结论【详解】平移后解析式为，其图象关于原点对称，则，易知最小时故选A【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的奇偶性，掌握诱导公式是解题关键平移变换时要注意平移单位是对自变量而言11.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题得构造函数（x0），求出函数的单调性，分析出函数f(x)的取值情况，再解不等式得解.【详解】由题得，所以设（x0）所以函数g(x)在（0，+）上单调递减.因为g(1)=ln1f
9、(1)=0,所以在（0,1）上g(x)0，因为此时lnx0，所以f(x)0，因为在（1，+）上g(x)0，因为此时lnx0，所以f(x)0.所以函数f(x)在（0,1）和（1，+）上，f(x)0.因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间（-1,0）和（-，-1）上，f(x)0.所以等价于.故选D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知双曲线的左右焦点分别为过F2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线E的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案
10、】B【解析】【分析】首先根据双曲线的定义得到，进而得到，再利用余弦定理得到，再求渐近线方程即可.【详解】如图，为等边三角形，设，则，又由，得，在中，利用余弦定理，则有，化简得，则，得，所以，双曲线E的渐近线方程为故答案选：B【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法，根据题意找到的关系式为解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知x，y满足约束条件则的最大值为_【答案】8【解析】分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出的最大值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，因，所以， 显然直线过与的交点时，最大，解得，此时，所以，
11、的最大值为8.故答案为：8.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n=_【答案】11【解析】【分析】根据平均数公式分别计算得到的值，再求和.【详解】甲组的平均数，解得： 乙组的平均数，解得：，所以.故答案为：11【点睛】
12、本题考查根据茎叶图中数据的平均数补全茎叶图，属于基础题型，本题重点考查平均数公式.15.在中,角A,B,C所对的边分别为,则,则b=_【答案】【解析】【分析】结合正弦定理化简可知,进而根据可知,进而得到,再结合余弦定理求解即可.【详解】因为,故,故,由正弦定理得,故.又因为,故 ,所以,即.故.故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意边角互化,并根据所给条件确定合适的正余弦定理.属于中档题.16.设数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则_【答案】【解析】【分析】根据数列通项与前n项和的关系可得,再累加求和即可.【详解】由得.又因为,故.故
13、.故,，.累加可得.故,故故答案为：【点睛】本题主要考查了数列通项与前n项和的关系,同时也考查了累加求和以及余弦函数的周期性.属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知数列是首项的等比数列，设（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和【答案】（）；（）【解析】【分析】（）设等比数列的公比为，根据题意求出的值，利用等比数列的通项公式可求得，再利用对数的运算性质可求得数列的通项公式；（）求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求得.【详解】（）设等比数列的公比为
14、，则，可得，；（）由（），得，因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如下：会参与不会参与男生6040女生2030（1）根据上表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关?（2）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志
15、愿者宣传活动，求男、女学生各选取多少人；若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率附：参考公式：，其中0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）有97.5的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）男生选人，女生选人；.【解析】【分析】（1）利用计算结果，通过比较即可判断能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）根据分层抽样方法可得，选取的8人中，男生和女生人数；通过列举，可得出8人中选取两人共有28种情况，而选到2男的共15种情况，利用古典概型概率的求法即可求出结果.
16、【详解】（1）因为，所以有97.5的把握认为参与马拉松赛事与性别有关（2）根据分层抽样方法得，男生人，女生2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人设抽取的名男生分别为，2名女生为；从中抽取两人，分别记为，,，,共28种情况，其中抽取到2名男生的共15种情况，所以，恰好选到2名男生的概率【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，分层抽样的应用以及古典概型概率的求法，属中档题.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAB底面，（1）求证：平面（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可以证出
17、，利用平面与平面垂直的性质可以证出面，再通过直线与平面垂直的性质可证，通过平面几何知识可证得，最后利用直线与平面垂直的判定可证明面；（2）利用等体积法，将转化成，然后再转化成求三棱锥的体积，即可得出答案.【详解】（1）证明：由题意，所以，则，又侧面底面，面面，面，则面面，则，又因，为平行四边形，则，又，则为等边三角形，则为菱形，则又，则面（2）由，则M为PB中点，由，得因此【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的证明，利用等体积法转化求三棱锥体积，属中档题.20.已知椭圆，圆，圆：，椭圆C与圆C1、圆C2均相切（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与圆C1相切同时与椭圆C交于A、B两点，求
18、|AB|的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆C与圆C1、圆C2均相切，可得出椭圆的与圆C1、圆C2半径的关系，进而求出椭圆C的方程；（2）假设直线l方程，由直线方程与椭圆C方程联立，计算出弦长|AB|，根据直线与圆相切需满足的条件进一步求出|AB|的最大值.【详解】（1）由题易知的半径，圆的半径又椭圆与同时相切，则，则椭圆C的方程：（2）当斜率为0时，与椭圆相切，不符合题意当斜率不为0时，设：，原点到的距离，即.由可得：，设，由韦达定理得：，可得，令，则，=3t+在上单调递增，则，即时，【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，属较难题.21.设函数（1）当m=6时，求
19、函数的极值;（2）若关于x的方程在区间1，4上有两个实数解，求实数m的取值范围【答案】（1）极小值，极大值；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据单调性求解出函数的极值；（2）关于x的方程可化简为，问题转化为直线与函数有两个交点，通过研究函数的图像即可得到答案.【详解】（1）依题意知的定义域为，当时，令，解得或.则当或，单调递增；当，单调递减所以当时，函数取得极小值，且极小值为，当时，函数取得极大值，且极大值为（2）由，可得，又，所以，即令，则，由，得；由，得， 在区间上是增函数，在区间上是减函数当时函数有最大值，且最大值为，又， 当时，方程在区间上有两个实数解即实数m的
20、取值范围为【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求极值，考查方程解的个数问题，属于较难题（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C1:（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为(1，0)，曲线（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;（）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点求|PA|+|PB|的取值范围【答案】（），； （）.【解析】【分析】（）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（）将直线参数方程代入椭圆方程得到根与系数关系，再根据，代入数据根
21、据三角函数有界性得到范围.【详解】（），消去得到曲线的普通方程为：，即，即曲线的普通方程为：.（）将 （为参数）代入：，化简整理得：，设两点对应的参数分别为，则恒成立， ， .【点睛】本题考查看了直线的参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用韦达定理求根与系数关系是解题的关键.23.已知函数，.（）当时，求不等式的解集；（）若且对任意，恒成立，求m的最小值.【答案】（）；（）1.【解析】【分析】（）通过讨论的范围，得到各个区间上的的范围，取并集即可；（）恒成立等价于恒成立，根据绝对值的意义将函数表示成分段函数进而求得，再解关于的不等式即可得解.【详解】（）当时，原不等式等价于 或 或， 解得：或无解或， 所以，的解集为；（），则 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，因为对任意，恒成立，所以，又因为，所以，解得（不合题意）所以的最小值为1【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
