1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。重难点强化练(五)递推数列的通项的求法(45分钟90分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.数列an满足:an+1=an-1(nN*,R且0),若数列an-1是等比数列,则的值等于()A.1B.-1C.D.2【解析】选D.由an+1=an-1,得an+1-1=an-2=.由于数列an-1是等比数列,所以=1,得=2.2.数列an定义如下:a1=1,当n2时,an=若an=,则n的值为()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3=
2、,a4=1+a2=3,a5=,a6=1+a3=,a7=,a8=1+a4=4,a9=,所以n=9.3.设数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则Sn的取值范围是()A.(0,1)B.(0,+)C.D.【解析】选C.已知an+Sn=1,当n=1时,得a1=;当n2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,得an-an-1+an=0,2an=an-1,由题意知,an-10,所以=(n2),所以数列an是首项为,公比为的等比数列,所以Sn=1-,所以Sn.4.设数列an前n项和为Sn,已知a1=,an+1=则S2 018等于()A.B.C.D.【解析】选B.因为a1=,所以a2=2-1=,a3=
3、2-1=,a4=2=,a5=2=,所以数列an是以4为周期的周期数列,所以a1+a2+a3+a4=+=2,所以S2 018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=1 008+=.5.在数列an中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(nN*),则|a1|+|a2|+|a10|的值是()A.210B.10C.50D.90【解析】选C.因为2an+1-an+2=an(nN*),即2an+1=an+2+an(nN*),所以数列an是等差数列,设公差为d,则a1+d=8,a1+4d=2,联立解得a1=10,d=-2,所以an=10-2(n-1)=12-2n.令an0,解得n6.Sn
4、=11n-n2.所以|a1|+|a2|+|a10|=a1+a2+a6-a7-a10=2S6-S10=2(116-62)-(1110-102)=50.6.已知数列an的前n项和为Sn,a1=3,当n2时,an+2Sn-1=n,则S2 019=()A.1 009 B.1 010 C.1 011 D.1 012【解析】选D.因为当n2时,an+2Sn-1=n,所以Sn-Sn-1+2Sn-1=Sn+Sn-1=n,所以Sn+1+Sn=n+1,故Sn+1-Sn-1=1.所以S2 019=1+S2 017=2+S2 015=+a1=1 012.7.(2020舟山模拟)若数列an满足a1=1,a2=2,ana
5、n-2=an-1(n3),记数列an的前n项积为Tn,则下列说法错误的是()A.Tn无最大值B.an有最大值C.T2 019=4D.a2 019=2【解析】选A.因为a1=1,a2=2,anan-2=an-1(n3),所以a3=2,a4=1,a5=,a6=,a7=1,a8=2,因此数列an为周期数列,an+6=an,an有最大值2,a2 019=a3=2,因为T1=1,T2=2,T3=4,T4=4,T5=2,T6=1,T7=1,T8=2,所以Tn为周期数列,Tn+6=Tn,Tn有最大值4,T2 019=T3=4.8.(2020宁波模拟)数列Fn:1,1,2,3,5,8,13,21,34,称为斐
6、波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.记该数Fn的前n项和为Sn,则下列结论正确的是世纪金榜导学号()A.S2 019=F2 021+2B.S2 019=F2 021-1C.S2 019=F2 020+2D.S2 019=F2 020-1【解析】选B.由题意,数列Fn :1,1,2,3,5,8,13,21,34,即该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,则Fn+2=Fn+Fn+1=Fn+Fn-1+Fn=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-1=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+Fn-2=
7、Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+F2+F1+1,即Fn+2=Sn+1成立,所以S2 019=F2 021-1成立.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2020宁波模拟)已知数列an的前n项和Sn=3n-1,则首项a1=_,通项式an=_.【解析】当n=1时,a1=S1=3-1=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1,适合n=1.所以an=23n-1.答案:223n-110.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(3-x)=f(x),f(-1)=3,数列an满足a1=1且an=n(nN*),则f(a36)+f(a37)=_.【解析】因为函数f(x)是奇函数
8、,所以f(-x)=-f(x),又因为f(3-x)=f(x),所以f(3-x)=-f(-x),所以f(3+x)=-f(x),即f(x+6)=f(x),所以f(x)是以6为周期的周期函数;由an=n(an+1-an)可得=,则an=a1=1=n,即an=n,所以a36=36,a37=37,又因为f(-1)=3,f(0)=0,所以f(a36)+f(a37)=f(0)+f(1)=f(1)=-f(-1)=-3.答案:-311.(2020衢州模拟)设数列an的前n项和为Sn,若S2=5,an+1=3Sn+1,nN*,则a2=_,S4=_.【解析】由于S2=5,即a1+a2=5,而an+1=3Sn+1,则a
9、2=3S1+1,解得a2=4;an+1=3Sn+1即Sn+1-Sn=3Sn+1,所以Sn+1+=4,故为等比数列,所以Sn+=4n-2=,所以Sn=-,所以S4=85.答案:48512.(2020台州模拟)已知数列an满足:a1=2,an+1=(nN*).设Sn为数列an的前n项和,则a2=_;S2 019=_.世纪金榜导学号【解析】由题意a2=3,又a3=2=a1,所以数列an是周期数列,周期为2.所以S2 019=(2+3)1 009+2=5 047.答案:35 047三、解答题(每小题10分,共30分)13.已知数列an的前n项和是Sn,且Sn+an=1(nN*).世纪金榜导学号(1)求
10、数列an的通项公式.(2)设bn=log4(1-Sn+1)(nN*),Tn=+,求Tn的取值范围.【解析】(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=,当n2时,Sn+an=1,Sn-1+an-1=1,两式相减得,Sn-Sn-1+(an-an-1)=0,所以an=an-1.所以an是以为首项,为公比的等比数列.故an=3(nN*).(2)由(1)知1-Sn+1=an+1=,所以bn=log4(1-Sn+1)=log4=-(n+1),所以=-,故Tn=+=+=-,所以Tn0,nN*,又2a2,a3,a2+2成等差数列.世纪金榜导学号(1)求数列的通项公式.(2)记bn=2an-,若数
11、列为递增数列,求的取值范围.【解析】(1)由Sn+1=qSn+1可得,当n2时,Sn=qSn-1+1-得:an+1=qan.又S2=qS1+1且a1=1,所以a2=q=qa1,所以数列an是以1为首项,q为公比的等比数列.又2a2,a3,a2+2成等差数列,所以2a3=2a2+a2+2=3a2+2,即:2q2=3q+2,所以2q2-3q-2=0,解得:q=2或q=-(舍),所以数列an的通项公式为:an=2n-1(nN*).(2)由题意得:bn=22n-1-(log22n)2=2n-n2,若数列bn为递增数列,则有bn+1-bn=2n+1-(n+1)2-2n+n2=2n-2n-0,即1,所以数列为递增数列.所以,所以.关闭Word文档返回原板块
