1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十四椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019北京高考)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2=,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆+=1(ab0)的一个焦点是x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选D.因为圆的标准方
2、程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3,又b=4,所以a=5,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).3.已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为()A.8B.6C.5D.4【解析】选A.椭圆+=1(ab0)的离心率e=,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,所以b=4,则椭圆短轴长为2b=8.4.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|+|=2,则F1PF2=()A.B.C.D.【解析】选D.若O为坐标原点,即O为F1,F2的中点,则+=2,因为|+
3、|=2,所以|PO|=,又|OF1|=|OF2|=,所以P,F1,F2在以点O为圆心的圆上,且F1F2为直径,所以F1PF2=.5.已知点P(x1,y1)是椭圆+=1上一点,F1,F2是左、右焦点,若F1PF2取最大值时,则PF1F2的面积是世纪金榜导学号()A.B.12C.16(2+)D.16(2-)【解析】选B.因为椭圆方程+=1,所以a=5,b=4,c=3,因此,椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0),根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,F1PF2取最大值,则此时PF1F2的面积S=234=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020南阳模拟)已知O为坐标原点
4、,F为椭圆C:+=1(ab0)的右焦点,过点F且倾斜角为120的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若POF为正三角形,则椭圆C的离心率为_.【解析】因为|OF|=c,POF为正三角形,所以|PO|=c,则点P的坐标为,故有整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-2,所以e=-1.答案:-17.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为_,最小值为_.【解析】设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|PA|-|PF1|AF1|(当P,A,F1共线
5、时等号成立),所以|PA|+|PF|6+,|PA|+|PF|6-.答案:6+6-8.(2019浙江高考)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是_.世纪金榜导学号【解析】设线段PF的中点为M,右焦点为F1.方法一:由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,设P(x,y),可得(x-2)2+y2=16,联立方程+=1,可解得x=-或x=(舍),点P在椭圆上且在x轴的上方,求得P,所以kPF=.方法二:焦半径公式应用.由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可
6、得|PF1|=2|OM|=4,即a-exP=4xP=-,求得P,所以kPF=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,且椭圆C经过点(2,).(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得+=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得+=0,得kAB=-.所以直线l的方程为y-1=-(x
7、-2),即3x+2y-8=0.10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.世纪金榜导学号【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,由得+(y1-y2)(y1+y2)=0,所以 (x1-x2)+(y1-y2)=0=-,即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=
8、-=2,即9k2+9km+1=0,因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k0,=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)0,即9k2-m2+10,结合得m=(-k)+ ,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足.所以直线AB在y轴上截距的最小值为.(20分钟40分)1.(5分)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(
9、3+r)=168=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.【变式备选】 已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=()A.4B.8C.12D.16【解析】选B.设MN的中点为D,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以
10、根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.2.(5分)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.如图,由已知可设=n,则=2n,=3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在AF1B中,由余弦定理推论得cosF1AB=.在AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-22n2n=4,解得n=.所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为
11、+=1.【变式备选】 已知点A,B分别为椭圆C:+=1的右顶点和上顶点,点P在椭圆C上,则使PAB为等腰三角形的点P的个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由题意知A(5,0),B(0,3).当PAB以APB为顶角时,显然AB中垂线与椭圆有两个交点,即点P有两个;当PAB以ABP为顶角时,|AB|=,设P(x,y),|PB|=,且+=1,解得y=0或y=-(舍去),此时P有一个;当PAB以PAB为顶角时,|PA|=,且+=1,解得x=0或x=(舍去),此时P有一个.综上,点P有4个.3.(5分)(2020温州模拟)已知F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y=x交椭圆于A,B 两点,
12、若cosAFB=,则椭圆C 的离心率是_.世纪金榜导学号【解析】设椭圆的左焦点为F1,由对称性可知,cosF1AF=-cosAFB=-,设|AF1|=m,|AF|=n,在AF1F中,由余弦定理可得(2c)2=m2+n2-2mncosF1AF,又m+n=2a,所以mn=4a2-4c2,即mn=3b2,联立直线y=x与椭圆+=1,得A,B,则|AB|=;又在AFB中,由余弦定理可得2a2+2b2=m2+n2-2mncosAFB=(m+n)2-mn,得到mn=a2-b2,所以有3b2=a2-b2,即a2=5b2=b2+4b2,c2=4b2,所以e=.答案:4.(12分)已知椭圆C:+=1(ab0)的
13、离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有解得所以所求椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,又AOB为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2
14、+=x1x2+(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入,化简整理得m22,即-m0,所以f(t)在1,+)上递增,f(t)min=f(1)=16,故m=0时,四边形ABCD面积取最大值6.1.(2020金华模拟)已知椭圆C:+y2=1上的三点A,B,C,斜率为负数的直线BC与y轴交于M,若原点O是ABC的重心,且BMA与CMO的面积之比为,则直线BC的斜率为世纪金榜导学号()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.设B(x1,y1),C(x2,y2),M(0,m),A(x3,y3),直线BC的方程为y=kx+m.因为原点O是ABC的重心,所以BMA与CMO的高之比为
15、3,又BMA与CMO的面积之比为,则2|BM|=|MC|.即2=2x1+x2=0.联立(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.x1+x2=,x1x2=.,由整理可得:36k2m2=1-m2+4k2.因为原点O是ABC的重心,所以x3=-(x1+x2)=,y3=-(y2+y1)=-k(x1+x2)+2m=-.因为+4=4,所以+4=41+4k2=4m2.由可得k2=,因为k0.所以k=-.2.(2020台州模拟)已知斜率为k的直线l经过点M(0,m),且直线l交椭圆+y2=1于A,B两个不同的点.(1)若k=1,且A是MB的中点,求直线l的方程.(2)若|AB|随着|k|的增大而增大,求实
16、数m的取值范围.世纪金榜导学号【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,联立椭圆方程+y2=1,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,所以因为点A是MB的中点,所以x2=2x1,代入得x1=-,x2=-.所以x1x2=,解得m=.所以直线l的方程为y=x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+m,联立椭圆方程得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,所以|x1-x2|=,所以|AB|=|x1-x2|=2,令1+4k2=t,t1,则|AB|2=4,记=,01,|AB|2=4-3m22+(3-m2)+1,由于|AB|随着|k|的增大而增大,所以|AB|2随着t的增大而增大,所以函数-3m22+(3-m2)+1在01上单调递减,当m=0时,显然不成立,当m0时,有0,解得m或m-.关闭Word文档返回原板块
