1、江苏省如皋中学 2020-2021 学年高二数学上学期第一次阶段检测试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1命题“20,22xx”的否定为 ()A20,22xx B20,22xx C20,22xx D20,22xx 2已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab以椭圆222:143xyC 的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线1C 的渐近线方程为 ()A.30 xy B.30 xy C.230 xy D.320 xy 3如图，在平行六面体1111ABCDA BC D中，E 为11A D 的中点，设AB=a，ADb，1
2、AA=c，则CE ()A12abc B12abc C12abc D1-2abc 4双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为2 65yx，且过点5,3 2，则其焦距为 ()A.7 B.72 C.1 D.12 5已知命题:p“xR，使得210mxmxm”为假命题，:q0m，则命题 p 是命题q 的 条件.()A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 6设双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为 5 P 是 C 上一点，且12F PF P若12PF F 的面积为 4，则 a ()A.1 B.2 C.4 D.8 7 如图，已
3、知矩形 ABCD 与矩形 ABEF 全等，二面角 DABE为 直 二 面 角，M 为 AB 中 点，FM 与 BD 所 成 角 为 ，且3cos9，则 ABBC ()A1 B.2 C22 D 12 8如图，A，B，C 是椭圆22221(0)xyabab上的三个点，AB 经过原点O，AC 经过右焦点 F，若 BFAC且|3|BFCF，则该椭圆的离心率为 ()A 12 B22 C32 D23 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9如果双曲线22221(0,0)xyaba
4、b的一条渐近线上的点(1,3)M 关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点 F，P 为双曲线上的动点，已知(3,1)A，则12PAPF的值可能为 A 32 B 2 C 52 D 4 ()10已知点 P 是椭圆22:16xCy 上的动点，Q 是圆221:(1)5Dxy上的动点，点1 1(,)2 3M则 ()A椭圆C 的离心率为306 B椭圆C 中以 M 为中点的弦所在直线方程为624110 xy C圆 D在椭圆C 的内部 D PQ 的最小值为 2 55 11下列说法正确的是 ()A“12x”是“220 xx”的必要不充分条件 B“1xy”是“lglg0 xy的充要条件 C过点(1,1)P 且与抛物线2
5、4yx有且只有一个交点的直线有 3 条 D若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点轨迹是一条抛物线 12设1F，2F 是双曲线C：222210,0 xyabab的左、右焦点，O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若16PFOP，则下列说法正确的是 A.2F Pb B.双曲线的离心率为 3 ()C.双曲线的渐近线方程为3yx D.点 P 在直线33xa上 三、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分 13抛物线24yx的准线方程为 .14在直三棱柱111ABCA B C中，13,3,3 2,2ACBCABAA，则异面直线1AC 与1BC 所成角的
6、余弦值为_ 15已知顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴的抛物线过点(1,2 2)P，则该抛物线的标注方程为 ；设 F 为该抛物线的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若0FAFBFC，则 FAFBFC=.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）16.已知椭圆2214xy 的左顶点为 A，过点6(,0)5的直线 MN 与椭圆交于点,M N 两点，（,M N 均 异 于 点 A），若 直 线,A M A N的 斜 率 分 别 为12,k k，则124kk的 最 小 值为 .四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F
7、 在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4,10)，(1)求双曲线的方程；(2)若点(,0)M m为 x 轴上一定点，P 为双曲线右支上一点，求线段 PM 长的最小值.18已知命题22:+142xypmm方程表示双曲线，(1)若命题 p 为真命题时 m 的取值集合为 A，集合21Bm ma，如果“mA”是“mB”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围(2)已知命题:1,1qx ，不等式22539mmx，若命题 pq与 一个为真命题，一个为假命题，求 m 的取值范围.19如图，正方体1111DCBAABCD中，M 是棱1BB 的中点(1)直线MA1与平面1AMC 所成角的正弦值；(2)求二面角11
8、AMCA的余弦值 20已知抛物线2:2(0)C xpy p的准线方程为1y ，直线 l 过点(0,1)P与抛物线C 交于,A B 两点点 A关于 y 轴的对称点为A，连结A B.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 21如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC,ABC90,PA平面 ABCD，PA3,AB2 3,BC6(1)求异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值；(2)若二面角 PBDC 的大小为23，求 AD 的长 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且两焦点 F
9、1，F2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线 l1，l2过右焦点 F2，且它们的斜率乘积为12，设 l1，l2分别与椭圆交于点 A，B 和 C，D 求 ABCD 的值；设 AB 的中点 M，CD 的中点为 N，求OMN 面积的最大值 20202021 学年度高二数学阶段考试试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1命题“20,22xx”的否定为 ()B A.20,22xx B.20,22xx C.20,22xx D.20,22xx 2.已知双曲线22122:1(0,0)xyCaba
10、b以椭圆222:143xyC 的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线1C 的渐近线方程为 ()A A.30 xy B.30 xy C.230 xy D.320 xy 3如图，在平行六面体1111ABCDA BC D中，E 为11A D 的中点，设 AB a，AD b，1AA c，则CE ()D A12abc B12abc C12abc D 12 abc 4.双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为2 65yx，且过点5,3 2，则其焦距为 ()A A.7 B.72 C.1 D.12 5已知命题:p“xR，使得210mxmxm”为假命题，:q0m，则命题 p 是命题 q 的 条件.(
11、)B A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 6设双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为 5 P 是 C 上一点，且12F PF P若12PF F 的面积为 4，则 a ()A A.1 B.2 C.4 D.8 7 如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且3cos9，则 ABBC ()C A1 B.2 C22 D 12 8如图，A，B，C 是椭圆22221(0)xyabab上的三个点，AB 经过原点O，AC 经过右焦点 F，若 BFAC且|3|BFCF，则该椭圆的离心率为 ()B A 12 B22 C
12、32 D23【解答】解：设椭圆的左焦点1(,0)Fc，连接1AF，1BF，1CF，设|CFm，由对称性可知：1|3AFBFm，由椭圆的定义可知：|23AFam，1|2CFam 由1/AFBF，则1AFAC，则1AFC 中，由2221|AFACCF，则2229(22)(2)mamam，整理得：3am，在 Rt 1AF F 中，2229(23)(2)mamc，将3am 代入解得椭圆的离心率22cea 故选：B 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9双曲线22221(0,
13、0)xyabab的一条渐近线上的点(1,3)M 关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点 F，P 为双曲线上的动点，(3,1)A，则12PAPF的值可能为 ()A 32 B 2 C 52 D 4 C D 10.已知点 P 是椭圆22:16xCy 上的动点，Q 是圆221:(1)5Dxy上的动点，点1 1(,)2 3M则()ABC A椭圆C 的离心率为306 B椭圆C 中以 M 为中点的弦所在直线方程为624110 xy C圆 D在椭圆C 的内部 D PQ 的最小值为 2 55 11下列说法正确的是 ()AC A“12x”是“220 xx”的必要不充分条件 B“1xy”是“lglg0 xy的充要条件
14、C过点(1,1)P 且与抛物线24yx有且只有一个交点的直线有 3 条 D若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点的轨迹是一条抛物线 12设1F，2F 是双曲线C：222210,0 xyabab的左、右焦点，O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若16PFOP，则下列说法正确的是()A.2F Pb B.双曲线的离心率为 3 ABD C.双曲线的渐近线方程为3yx D.点 P 在直线33xa上 三、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分 13抛物线24yx的准线方程为 .116y 14在直三棱柱111ABCA B C中，13,3,3 2,2AC
15、BCABAA，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为_ 413 15已知顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴的抛物线过点(1,2 2)P，则该抛物线的标注方程 为 ；设 F 为该抛物线的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若0FAFBFC，则 FAFBFC=.28yx；12（本题第一空 2 分，第二空 3 分）16.已知椭圆2214xy 的左顶点为 A，过点6(,0)5的直线 MN 与椭圆交于点,M N 两点，（,M N 均异于点 A），若直线,AM AN 的斜率分别为12,k k，则124kk的最小值 为 .4 四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
16、算步骤.17已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4,10)，(1)求双曲线的方程；(2)若点(,0)M m为 x轴上一定点，P 为双曲线右支上一点，求线段 PM 长的最小值.解：(1)因为2e，则双曲线的实轴、虚轴相等所以可设双曲线方程为 22(0)xy 因为双曲线过点(4，10)，所以 1610，即 6.所以双曲线方程为226xy.-4 分(2)设(,)(6)P x y x，2222()226(6)PMxayxaxax 令22()226f xxaxa=222()622aax(6)x 当62a 即2 6a 时，当6x 时，2min()(6)f xa ，m
17、in6PMa 当62a 即2 6a 时，当2ax 时，2min()62af x ，2min62aPM-10 分 18已知命题22:+142xypmm方程表示双曲线，(1)若命题 p 为真命题时 m 的取值集合为 A，集合21Bm ma，如果“mA”是“mB”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围(2)命题:1,1qx ，不等式22539mmx，若命题 pq与 一个为真命题，一个为假命题，求m 的取值范围.解：(1)若 p 为真：(4)(2)0mm，所以42Amm，因为“mA”是“mB”的充分不必要条件，所以 A是 B 的真子集，所以214a ，即25a，所以 实数 a 的取值范围是(,5 5
18、,)-6分(2)由(1)知若 p 为真 42m，若q 为真：2533mm 即16mm 或，因为若命题 pq与一个为真命题，一个为假命题，所以 m 的取值范围是(,4(1,2)6,)-12 分 19如图，正方体1111DCBAABCD中，M 是棱1BB 的中点(1)直线MA1与平面1AMC 所成角的正弦值；(2)求二面角11AMCA的余弦值 解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为 2。直线MA1的一个方向向量是)1,2,0(m，平面1AMC 的一个法向量是)2,1,1(n，由15302,cosnmnmnm，所以直线MA1与 平面1AMC 所成角的正弦值是15302.-
19、6 分 平面11MCA的一个法向量是)2,1,1(e，平面1AMC 的一个法向量是)2,1,1(n，由 32,cosnenene，所以二面角11AMCA的余弦值是 32 -12 分 20已知抛物线2:2(0)C xpy p的准线方程为1y ，直线 l 过点(0,1)P与抛物线C 交于,A B 两点点 A关于 y 轴的对称点为A，连结A B.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 DCBAP【解析】(1)抛物线2:2(0)C xpy p的准线方程为1y ，2p.所以，抛物线 C 的标准方程为2:4C xy-4 分(2)设直线l 的方程为
20、1ykx，又设1122(,),(,)A x yB x y，则11(,)Ax y 由2141yxykx 得2440 xkx.则2121216160,4,4kx xxxk 所以222121212112444A Bxxyyxxkxxxx.于是直线A B的方程 为22212()44xxxyxx，所以2212212()444xxxxx xyx即2114xxyx.所以当0 x 时，1y .所以直线A B过定点(0,1)-12 分 21如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC,ABC90,PA平面 ABCD，PA3,AB2 3,BC6(1)求异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值；(2)若二面角 PBDC
21、的大小为23，求 AD 的长 解：因为 PA平面 ABCD，所以 PAAB，PAAD，因为 ADBC,ABC90,所以 ABAD 以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 AxOy，则 B(2 3，0，0)，C(2 3，6，0)，P(0，0，3)（1）PB(2 3，0，3)，AC(2 3，6，0)，所以 cosPB，ACPBAC|PB|AC|77，即异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为 77-6 分（2）设 ADa(a0)，则 D(0，a，0)，所以BD(2 3，a，0)，设平面 PBD 的法向量n(x，y，z)，则BDn 0PBn 0，即2 3xay0 2 3x3z0，取 x 3，则
22、y6a，z2，则n(3，6a，2)又平面 BCD 的一个法向量m(0，0，1)，二面角 PBDC 的大小为23，所以|错误!|错误!，即|错误!|错误!，解得 a2 经检验，当 AD2，二面角 PBDC 的大小为23-12 分 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且两焦点 F1，F2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线 l1，l2过右焦点 F2，且它们的斜率乘积为12，设 l1，l2分别与椭圆交于点 A，B 和 C，D求 ABCD 的值；设 AB 的中点 M，CD 的中点为 N，求OMN
23、 面积的最大值 解：（1）x22y21-3 分（2）设 AB 的直线方程为 yk(x1)联立yk(x1)，x22y21，消元 y 并整理得(12k2)x24k2x2k220，所以 x1x24k212k2，x1x22k2212k2，于是 AB 1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x22 22 2k212k2，同理 CD2 22 2(12k)212(12k)24 2k2 22k21，于是 ABCD2 22 2k212k24 2k2 22k213 2-7 分 由知 xM2k212k2，yMk12k2，xN112k2，yNk12k2，所以 M(2k212k2，k12k2)，N(112k2，k12k2)，所以 MN 的中点为 T(12，0)，于是 SOMN12OT|yMyN|14|2k12k2|12|k|12k21211|k|2|k|28，当且仅当 2|k|1|k|，即 k22 时取等号，所以OMN 面积的最大值为28-12 分
