1、南京市天印高级中学2021-2022年度高二年级第二学期期中考试数学试卷一单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知随机变量，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望及方差公式，列出方程，解方程即可求出答案.【详解】由二项分布的性质知，即，所以.故选:B.2. 为（ ）A. B. C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据组合数的运算公式计算即可得出答案.【详解】解：.故选：B.3. 设随机变量服从正态分布，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：由题可知，正态曲线关于对称，根据，即可求出详
2、解：随机变量服从正态分布 正态曲线关于对称 故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性.4. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）A. 0.08B. 0.1C. 0.15D. 0.2【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P=，P=，P=，P
3、=，P=，P=；则由全概率公式，所求概率为P=P+P+P=+=0.08.故选：A5. 如图所示，在空间四边形中，点在上，且，为中点，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可【详解】故选：B6. 已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ）A. 与是共线向量B. 与向量方向相同的单位向量是C. 与夹角余弦值是D. 平面的一个法向量是【答案】C【解析】【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.向量方向相同的单位向量是，B选项错误.，所以与夹角的余弦值是，C
4、选项正确.，所以不是平面的法向量，D选项错误.故选：C7. 甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）A. 12种B. 24种C. 48种D. 120种【答案】B【解析】【分析】甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案.【详解】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，甲乙相邻且在两端有种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)故选：B【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法
5、为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.8. 若展开式的常数项等于 ，则（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.【详解】解：展开式的通项公式为：，所以当时，项的系数为：，的展开式无常数项，所以展开式的常数项为：，解得： 故选：C.【点睛】本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.二多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
6、请把答案填涂在答题卡相应的位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或错选的得0分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 设离散型随机变量X等可能取1，2，3，n，若，则B. 设随机变量X服从二项分布，则C. 设离散型随机变量服从两点分布，若，则D. 设随机变量x服从正态分布且，则【答案】AC【解析】【分析】直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用判断A、B、C、D的结论【详解】解：由题意知，对于A：，故A正确；对于B：设随机变量服从二项分布，则，B错误；对于C，因为且，故C正确；对于D，随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是，所以，D错误；故选：AC10. 现安排高二年级A，B，C
7、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）A. 所有可能的方法有种B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法
8、有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.故答案为：BCD11. 关于，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，B，D，分别令、代入已知关系式即可求解，选项C，利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】令，则，即，故A正确；令，则，即，所以，故B错误；根据二项式展开式的通项公式：，故C错误；令
9、，则，令，则，两式相加可得，两式相减可得，可得，所以，故D正确.故选：AD12. 如图，正方体棱长为2，为棱的中点，为棱上的点，且，现有下列结论，其中所有正确结论的编号为（ ）A. 当时，平面B. 存在，使得平面C. 当时，点到平面的距离为D. 对任意，直线与是异面直线【答案】CD【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，对于A直接求出平面的法向量，判断和法向量是否垂直即可；对于B只需要说明与不垂直即可；对于C直接求出平面的法向量，按照距离公式求解即可；对于D直接用定义判断即可.【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.对于A：，设平面的法向量为，则，令，故A错误；对于B：，所以与不垂直，故
10、与平面不垂直，故B错误；对于C：，设平面的法向量为，则，令，又，所以点到平面的距离为，故C正确；对于D：因为在平面内，在平面外，所以与是异面直线，故D正确.故选：CD.三填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用条件概率的公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：14. 有5名同学参加唱歌跳舞下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，则参赛方案的种数为_.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：将5人分为3组；将分好的三组全排列，安排参加三项比赛，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，可分2步进行分析：（1）
11、将5人分为3组：若分成3、1、1的三组，有种分组方法；若分成2、2、1的三组，有种分组方法，则共有种分组方法；（2）将分好的三组全排列，安排参加三项比赛，有种情况，由分步计数原理，可得共有种不同的参赛方法.故答案为：.15. 高二某班数学学习小组成员最近研究的椭圆的问题数x与抛物线的问题数y之间有如下的对应数据：123452455若用最小二乘法求得线性回归方程是，则表中的m是_.【答案】4【解析】【分析】求出样本中心点，代入回归直线即可求得结果.【详解】解：，回归直线经过样本中心，可得，解得.故为：416. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱
12、锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，于点，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】解法一：以AC、BD交点O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向构建空间直角坐标系，设，进而写出、坐标，可得，由四点共面有，设，求值即可.解法二：利用平面的性质作出点G的位置，再由平面几何的知识即可得解.【详解】解法一：建立如图所示空间直角坐标系，设， (a、b均不为0)，则，由题意四点共面，有，其中，设，由方程组，即，解得：.故
13、答案为：.解法二：连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD，连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G，在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图，由题意，,所以，设，则，又由三角形相似得，,所以，解得：解得：故答案为：.【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，利用四点共面有且，再设，应用空间向量线性关系的坐标表示，列方程组求参数.四解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. 将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4
14、的盒子中（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？【答案】（1）24；（2）144；（3）8【解析】【分析】（1）由四个元素的全排列计算即可；（2）利用捆绑法将四个球中的两个“捆”在一起，再从4个盒子中选3个进行投放；（3）先选出一个球的编号和盒子编号相同的小球，再用局部列举法得出其余三个球的投入方法，最后由分步乘法计数原理求解即可；【详解】（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有种答：共有24种放法（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共三个
15、元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，所以共有（种）放法答：共有144种放法（3）一个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有（种）放法答：共有8种放法【点睛】关键点睛：解决问题（2）的方法在于利用捆绑法将四个球中的两个“捆”在一起，再进行排列.18. 在二项式的展开式中，_.给出下列条件：若展开式前三项的二项式系数的和等于46；所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式的常数项.【答案】（1），；（2）
16、.【解析】【分析】选择：，利用组合数公式，计算即可；选择：转化为，计算即可（1）由于共9项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第5项和第6项，利用通项公式计算即可；（2）写出展开式的通项，令，即得解【详解】选择.，即，即，即，解得或（舍去）.选择.，即，解得.（1）展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，.（2）展开式的通项为，令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为.19. 新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学，外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物，政治，地理四科中选择两科某校为了
17、解该校考生首选科目的选科情况，从该校考生中随机选择了100名考生进行调查，得到下面的列联表：选择物理不选择物理男4614女2020假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响（1）能否有的把握认为考生是否选择物理与性别有关?（2）已知该校有考生2200名，以上表中该校考生选择物理科目的频率代替该校考生选择物理科目的概率，估计该校考生选择物理作为首选科目的人数参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）能； （2）【解析】【分析】（1）：根据公式求解，结合表格参考数据即可判断结果；（2）：先求出该校考生选择物理科
18、目的概率，再结合校人数可得结果【小问1详解】根据题意可得所以有的把握认为考生是否选择物理与性别有关；【小问2详解】该校考生选择物理科目的概率为所以估计该校考生选择物理作为首选科目的人数为20. 某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，整理得到如下频率分布直方图.根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：满意度的分数满意度的等级不满意满意（1）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；（2）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以
19、X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为；【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出在与的频率，即可得到概率；（2）依题意，则的可能取值为、，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；【详解】解：（1）由频率分布直方图可知满意度的分数的频率为，满意度的分数的频率为，故从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率为（2）依题意可知，则的可能取值为、，所以，所以的分布列为：所以21. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BCAD，点M是棱PD上一点，且ABBC2，ADPA4（1）若
20、PM：MD1：2，求证：PB平面ACM；（2）求二面角ACDP的正弦值；（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明PB平面ACM（2）求出平面CDP的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角ACDP的正弦值（3）求出平面CDP的法向量，由直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法能求出MD的长【详解】（1）证明：在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BCAD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空
21、间直角坐标系，点M是棱PD上一点，PM：MD1：2，ABBC2，ADPA4P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，），（2，0，4），（2，2，0），（0，），设平面ACM的法向量，则，取x2，得（2，2，1），440，PB平面ACM，PB平面ACM（2）D（0，4，0），（2，2，4），（0，4，4），设平面CDP的法向量（a，b，c），则，取b1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角ACDP的平面角为，则|cos|，二面角ACDP正弦值为（3）设，（01），则，平面CDP的法向量，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，| |，
22、解得，22. 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四视星等0.030.080.120.380.46a绝时星等1.424.40.60.12.67赤纬（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（2）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它现从这10颗恒星中随机选择
23、4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；（3）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系（结论不需要证明）【答案】（1）；（2）分布列见解析；数学期望为；（3）【解析】【分析】（1）由图表数据可知有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；（2）首先确定所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望；（3）根据数据的波动程度可得方差大小关系.【详解】（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件，由图表可知：颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值（2）由图表知，有颗恒星“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于，则随机变量的所有可能取值为：，随机变量的分布列为：（3）结论：理由：当时，视星等的平均数为；当时，视星等的平均数为；可知当时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小.【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率.
