1、第6讲 双曲线 第2课时A组基础巩固一、单选题1(2024广东惠州调研)已知双曲线C：1的一条渐近线方程是yx，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tanMF1F2( D )A. BC D解析因为该双曲线的一条渐近线方程是yx，则，结合c2a2b2，可得.又M，所以tanMF1F2.2(2024江苏南通如皋调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：1(a0，b0)的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为( B )A. B2C D3解析如图所示，由题意可
2、知，AOFCOF1，又因为若M是FN的中点，OMFN，所以AOFAOC，所以3AOF，AOF，根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：yx，OFc，tanAOF，所以，所以e2.故选B.3(2023浙江A9协作体联考)已知双曲线C：1(a0，b0)，F1、F2分别为左、右焦点，点P在双曲线上，PF1PF2，P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距离的3倍，则双曲线的离心率是( B )A. BC2 D解析设双曲线C的半焦距为c0，由题意可知：|PF1|3|PF2|，则|PF1|PF2|2|PF2|2a，可得|PF1|3|PF2|3a，因为PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即
3、9a2a24c2，整理得，所以双曲线的离心率是e.故选B.4(2024贵州高三开学考试)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B.若|AB|AF|，则双曲线C的渐近线方程为( B )A.xy0 Bxy0C.xy0 Dxy0解析由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为yx.设点A，B的纵坐标依次为y1，y2，因为1，所以y1，所以|AF|.因为y2，所以|BF|.因为|AB|AF|，所以，得c2b，所以ab，故，双曲线C的渐近线方程为yx，即xy0，故选B.5(2023广东惠州调研)设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：
4、1(a0，b0)的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则( A )A. B2C D解析不妨设a1，c，b，则|PF2|b，|OP|a1，cosPOF2，cosPOF1.由余弦定理可得，|PF1|2|OF1|2|OP|22|OF1|OP|cosF1OP31216，所以|PF1|，所以.故选A.6(2024湖南师大附中月考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B.若AFB60，则该双曲线的离心率为( C )A. BC D解析由题意知F(c,0)到直线bxay0的距离为，所以，因为a2b2c2，所
5、以b，c2a2，e.故选C.7(2024陕西西安阎、高、蓝、周四区联考)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|，则双曲线的离心率的取值范围是( D )A. BC(1，) D解析焦点F2(c,0)到渐近线yx的距离为db，所以|AB|2，因为|AB|，即2，9(a2b2)c2.解得e2.即e1，1e0，b0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为，则k1k2( B )A3 B1C2 D解析解法一：点A，B关于原点对称，设A(x0，y0)，B(x0，y0
6、)，P(x，y)，由点差法1，1，减得，则，即k1k2e21，又由e，则k1k21，故选B.解法二：由题意可取C：x2y21，不妨取k0，P(2，)，则A(1,0)，B(1,0)，k1k21.故选B.二、多选题9(2024河南摸底)已知双曲线C：1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2，点P是C上一点，则( ACD )AC的离心率为B若PF1x轴，则|PF1|8C若|PF1|2|PF2|，则|PO|(其中O为坐标原点)D点P到C的两条渐近线的距离之积为解析因为|F1F2|2，所以a2a235，解得a21，故双曲线C：x21.双曲线C的离心率e，故A正确；由题可得F1(，0)，又
7、PF1x轴，所以xP，则51，解得yP4，所以|PF1|4，故B错误；因为|PF1|2|PF2|，且|PF1|PF2|2，所以|PF1|4，|PF2|2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1PF2，所以|PO|F1F2|，故C正确；设P(x0，y0)，则x1，因为双曲线C的渐近线方程为x0或x0，所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为，故D正确故选ACD.10(2024江苏省泰州市模拟)已知双曲线C：1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列结论正确的为( BD )A|AB|的最小值为B以F为焦点的抛物线的标准方程为y220xC满足|AB|2的直线有3
8、条D若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率k解析当直线l的斜率为0时，于A，B两点分别为双曲线的顶点，则|AB|2a6，又62，此时无满足条件的直线当A，B两点分别在双曲线一支上时(实轴为最短弦)，则|AB|2a62，此时无满足条件的直线故选项C不正确；过右焦点F分别作两渐近线的平行线l1，l2，如图，将l1绕焦点F沿逆时针方向旋转到与l2重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点此时直线l的斜率k或k0，b0)的左焦点为F1(c,0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|c，且|PO|c，则双曲线C的离心率为 1.解析如图，因为|PO|c|F1O|F2O|，F1PF2，
9、|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，3c2(c2a)24c2,2c24ac4a20，e22e20，解得e1.13(2022高考全国甲卷)记双曲线C：1(a0，b0)的离心率为e，写出满足条件“直线y2x与C无公共点”的e的一个值 2.解析双曲线C：1(a0，b0)的离心率为e，e，双曲线的渐近线方程为yx，直线y2x与C无公共点，可得2，即4，即4，可得10，解得t22，即2，所以k2且k0，解得k0或0k，综上可得k0，b0)的右焦点F(c,0)作其渐近线的垂线，垂足为点T，交双曲线C的左支于点P，若2，则双曲线C的离心率为( B )A. BC3 D5解析如图所示，因为F(c,0)到其一
10、条渐近线：yx的距离：|FT|b，因为2，所以点T为PF中点，且|2|2b，|OT|a，又原点O为FF1的中点，所以|PF1|2|OT|2a，由双曲线的定义得：|PF|PF1|2b2a2a，化简得：b2a，因为双曲线的离心率：e，所以得：e，故B项正确故选B.2(多选题)(2024湖北武汉硚口区质检)已知双曲线C：x21，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是( BCD )A双曲线C的离心率为B若l的斜率为2，则MN的中点为(8,12)C若F1MF2，则MF1F2的面积为3D使MNF1为等腰三角形的直线l有3条解析由双曲线方程得a1，
11、b，故c2，则离心率e2，故A错误；由方程知F1(2,0)，F2(2,0)，则直线l的方程为y2(x2)，联立双曲线方程化简得x216x190，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x216，故8，而y1y22x142x242(x1x2)824，则12，故MN的中点为(8,12)，故B正确，若F1MF2，根据双曲线定义得|MF1|MF2|2，由余弦定理可得cosF1MF2，即，可得|MF1|MF2|12，所以MF1F2的面积为|MF1|MF2|sin 123，故C正确；当直线MNx轴时，可得|MF1|NF1|，MNF1为等腰三角形；根据双曲线定义得|MF1|MF2|2，|NF1|NF2|
12、2，两式相加得|MF1|NF1|4|MF2|NF2|4|MN|，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x10，y10，x20，y20，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是 .解析设AF1的中点为P，连接OP，PF2，易得POAF1，PF1O60，所以|OF1|c，|PF1|c，在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2c24c2c2c2，所以|PF2|c，所以2a|PF2|PF1|cc，所以双曲线M的离心率e.4(2024辽宁沈阳东北育才学校适应性测
13、试)已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为 8.解析设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c2，故椭圆的离心率e1，从而双曲线的离心率e2，可得a1，根据双曲线的定义有|PF1|PF2|2a，即|PF1|PF2|2，故|PF2|4，由双曲线的范围可得|PF2|ca1，根据基本不等式可得|PF2|4248，当且仅当|PF2|，即|PF2|2时取“”，所以的最小值为8.5(2024陕西汉中联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2，且焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线C的标准
14、方程；(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：OPQ的面积为定值解析(1)依题意得2c2，c，一条渐近线为yx，即bxay0，右焦点为(，0)，所以1，即1，b，所以b1，所以a2c2b2615，所以双曲线C的标准方程为y21.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，则直线l经过双曲线的顶点，不妨设l：x，又渐近线方程为yx，将x代入yx，得y1，将x代入yx，得y1，则|PQ|2，SOPQ2.当直线l的斜率存在，设直线l：ykxt，且k，联立消去y并整理得(15k2)x210ktx5t250，因为动直线l与双曲线C恰有1个公共点，所以得5k2t21，设动直线l与yx的交点为P，与yx的交点为Q，联立得xP，同理得xQ，则|PQ|xPxQ|因为原点O到直线l的距离d，所以SOPQ|PQ|d，又因为5k2t21，所以，即SOPQ，故OPQ的面积为定值，且定值为.
