1、新课程标准解读核心素养1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观地理解函数的极值与导数的关系2.掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件1数学抽象：函数极值的概念2数学运算、函数极值的求解情境导入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点 在数学上，这种现象如何来刻画呢？在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？探究1：观察下图，
2、我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?abthO放大t=a附近的图像，可以看出 h(t)=0，当t0;当ta时,函数h(t)单调递减,h(t)0对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？oxdbfcaehg函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小，f(d)=0.左侧f(x)0，函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附近其他点的函数值都大，f(e)=0.左侧f(x)0，右侧f(x)0，函数的极值:一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近
3、有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;并把x0称为函数f(x)的一个极大值点;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极
4、值点；(5)单调函数一定没有极值 探究点1 求函数的极值(点)例1(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)oxy12(1)由函数的图象可知，f(2)0，f(2)0，并且当x0；当2x1时，f(x)0，则函数f(x)有极大值f(2)又当1x2时，f(x)2时，f(x)0，则函数f(x)有极小值f(2)，2(2)求下列函数的极值：f(x)
5、13x3x23x；f(x)x44x35；f(x)ln xx.(2)求下列函数的极值：f(x)13x3x23x；f(x)x44x35；f(x)ln xx.函数的定义域为R.f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，得x11，x23.由此可知当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当 x1 时，f(x)有极大值53.当x0时，f(x)有极小值0.f(x)ln xx.函数 f(x)ln xx 的定义域为(0，)，且 f(x)1ln xx2.令 f(x)1ln xx20，得 xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况
6、如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值故当xe时函数取得极大值，且 f(e)1e.f(x)x2ex函数的定义域为R.f(x)(x2ex)x(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值当x0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)0；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)4e2.函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f
7、(x)在这个根处取极值的情况探究点2 含参数的函数极值问题角度一 含参数的函数极值求法 例2若函数f(x)xaln x(aR)，求函数f(x)的极值函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1axxax.(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)无极值(2)当a0时，令f(x)0，解得xa.当0 xa时，f(x)a时，f(x)0.f(x)在xa处取得极小值，且f(a)aaln a，无极大值综上可知，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依
8、据有两种：一是看参数是否对f(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论 求函数f(x)x33axb(a0)的极值解：f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值；当a0时，令f(x)0，得 x a或 x a.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增极大值f()单调递减 极小值f()单调递增aaaaaaaaf(x)的极大值为 f(a)2a ab，极小值为 f(a)2a ab.角度二 已知函数的极值求参数值或范围 例3(1
9、)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则a()A4或3 B4或11C4 D3(1)f(x)x3ax2bxa2，f(x)3x22axb.f（1）32ab0，f（1）1aba210，即2ab3，aba29，解得a3，b3或a4，b11，当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意(2)若函数 f(x)12x2(a1)xaln x 没有极值，则()Aa1Ba0Ca1D1a0，当 a0 时，ax10，令f(x)0，得0 x0，得x1.f(x)在x1处取极小值当 a0，f(x)2x2，令 f(x)0 得 0 x1，令f(x)1，故f(x
10、)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以x1是极大值点，符合题意2设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_yexax，yexa，由题意知方程exa0有大于零的解当x0时，ex1，aex1.探究点3 利用导数研究方程根(函数零点)的问题例4已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x
11、)的图象与x轴有三个交点，如图oxy11由已知应有2a0，2a0，解得2a2，故实数a的取值范围是(2，2)利用导数研究方程根(函数零点)的问题的步骤(1)利用导数判断函数的单调性；(2)研究函数的极值情况；(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数若含有参数，则需要讨论极值的正负给定三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，求导得f(x)3ax22bxc.用表示方程f(x)0的根的判别式，有以下结论：(1)当4(b23ac)0时，有两个极值点；当4(b23ac)0时，无极值点(2)函数f(x)的图象存在水平切线，则f(x)0有实数解，从而4(b23ac)0；(3)函数在R上单调递增，则a0且4(b23ac)0.已知函数f(x)x33xm只有一个零点，则实数m的取值范围是()A2，2 B(，2)(2，)C(2，2)D(，22，)f(x)3x23.由f(x)0，得x1或x1，此时函数单调递增；由f(x)0，得1x1，此时函数单调递减即当x1时，函数f(x)取得极大值；当x1时，函数f(x)取得极小值要使函数f(x)x33xm只有一个零点，则需满足f(1)f(1)0，即(m2)(m2)0，解得m2或m2.综上，实数m的取值范围是m2或m2.
