1、专项3.3 平方差公式综合高分必刷1（青白江区校级月考）如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，其面积是（）A2m+4B4m+4Cm+4D2m+2【答案】B【解答】解：依题意得剩余部分为（m+2）2m2m2+4m+4m24m+4，而拼成的矩形一边长为2，另一边长是（4m+4）22m+2面积为2（2m+2）4m+4故选：B2（建始县校级模拟）计算（2m3n）（2m3n）的结果是（）A4m2+9n2B4m29n2C4m29n2D4m2+9n2【答案】A【解答】解：（2m3n）（2m3n）（3n）2（2m）
2、24m2+9n2，故选：A3（任城区校级月考）已知a+b6，则a2b2+12b的值为（）A6B12C24D36【答案】D【解答】解：a+b6，a2b2+12b（a+b）（ab）+12b6（ab）+12b6a6b+12b6a+6b6（a+b）6636，故选：D4（电白区月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（21024+1）+1化简的结果为（）A21024B21024+1C22048D22048+1【答案】C【解答】解：设S（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（21024+1）（21）S（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（21024+1）（221）
3、（22+1）（24+1）（28+1）（21024+1）（241）（24+1）（28+1）（21024+1）（210241）（21024+1）220481，（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（21024+1）+1S+1220481+122048故选：C5（如东县期中）已知实数m，n满足m2+n22+mn，则（2m3n）2+（m+2n）（m2n）的最小值为（）A24BCD4【答案】D【解答】解：m2+n22+mn，（2m3n）2+（m+2n）（m2n）4m2+9n212mn+m24n25m2+5n212mn5（mn+2）12mn107mn，m2+n22+mn，（m+n）22+3mn0（
4、当m+n0时，取等号），mn，（mn）22mn0（当mn0时，取等号），mn2，mn2，147mn，4107mn，即（2m3n）2+（m+2n）（m2n）的最小值为4，故选：D6（相城区期末）若a22a10，那么代数式（a+2）（a2）2a的值为（）A1B3C1D3【答案】B【解答】解：（a+2）（a2）2aa242aa22a4，a22a10，a22a1，原式143故选：B7（南召县期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”下列正整数中能称为“好数”的是（）A205B250C502D520【答案】D【解答】解：根据平方差公式得：（2n+1）2（2n1）2（2n+1
5、+2n1）（2n+12n+1）4n28n所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除故选：D8（梁平区期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（83212，165232，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A255024B255054C255064D250554【答案】A【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n1（n1，且n为正整数），（2n+1）2（2n1）28n，根据题意得：8n2017，n252，n最大为252，此时2n+1505，2n150
6、3，3212+5232+.+50325012+50525032505212255024故选：A9（东莞市期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为【答案】2m+4【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x（m+4）2m2（m+4+m）（m+4m），解得x2m+4故答案为：2m+410（同心县校级期末）如图两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为【答案】a2b2（a+b）（ab）【解答】解：第一个图的阴影部分的面积是：a2b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（ab），则a2b2
7、（a+b）（ab）故答案是：a2b2（a+b）（ab）11（市北区期中）数学兴趣小组发现：（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41利用你发现的规律：求：72021+72020+72019+7+1【答案】【解答】解：72021+72020+72019+7+1（71）（72021+72020+72019+7+1）（720221）故答案为：12（碑林区校级期末）计算：2022220242020【答案】4【解答】解：原式20222（2022+2）（20222）20222（2022222）2022220222+44故答案为：413（李沧区期末）如果一个正
8、整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”例如32212，74232，165232，3，7，16就是三个智慧数在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是【答案】2699【解答】解：设两个数分别为k+1，k，其中k1，且k为整数则（k+1）2k2（k+1+k）（k+1k）2k+1设两个数分别为k+1，k1，其中k1，且k为整数则（k+1）2（k1）2（k+1+k1）（k+1k+1）4k，k2时，4k8，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数4k（k2且k为整数）均为智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6
9、，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2m2n2，4k+22（2k+1）（m+n）（mn），m+n和mn这两个数的奇偶性相同，等式的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数可左、右两边不相等所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，又（20221）36732，第2022个智慧数在1+673+1675（组），并且是第三个数，即67541269
10、9，是个奇数，2k+12699，解得k1349，k+11350，即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解故答案为：269914（闵行区期中）如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，求阴影部分的面积【解答】解：设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得：b2a26由图形可得：S阴a（ba）+（b2ab）aba2+b2ab（b2a2）63故阴影部分的面积为315（西安期末）探究活动：（1）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成图一个长方形，则长表示为，宽为（2）则图2中阴影部分周长表示为知识应用：运用你得到的公式解决以下问题（3）计算：已知a5m3
11、n，b3m+5n，则图2中阴影部分周长是多少？【解答】解：（1）由题意可得：图2长方形的长为：a+b，宽为：ab，故答案为：a+b，ab；（2）图2中阴影部分周长表示为：2（a+b+ab）4a，故答案为：4a；（3）a5m3n，b3m+5n阴影部分周长是4a4（5m3n）20m12n16（天桥区期末）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（ba）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2，写出上述过程中所揭示的乘法公式；（2）直接应用，利用这个公式计算：（xy）（yx）；10298（3
12、）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（31024+1）+1【解答】解：（1）S1a2b2，S2（a+b）（ab），S1S2，a2b2（a+b）（ab）（2）（xy）（yx）（x）2y2x2y2；10298（100+2）（1002）9996（3）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.（31024+1）+1，（31）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.（31024+1）（31）+1，（321）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.（31024+1）2+1，（31024
13、）2122+1，（320481）2+1，17（大连期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：10397；（2x+y3）（2xy+3）【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（ab），因此面积为（a+b）（ab），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2b2，由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（ab）a2b2，故答案为：（a+b）（ab），a2b2，（a+b）（ab）a2b2；（2）10397（
14、100+3）（1003）1002321000099991；原式（2x+y3）2x（y3）（2x）2（y3）24x2（y26y+9）4x2y2+6y918（奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方
15、形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由【解答】解：（1）图1的面积为a2b2，图2的面积为（2a+2b）（ab）（a+b）（ab），因此有a2b2（a+b）（ab），故答案为：a2b2（a+b）（ab）；（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2（a+b）2，即完全平方公式；（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：19.（宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以
16、通过几何图形的面积来推导和验证如图，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图）（1）通过计算图和图中阴影部分的面积，可以验证的公式是：（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：（2+1）（221）（24+1）（21）（2+1）（22+1）（24+1）（请你将以上过程补充完整）（3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）【解答】解：（1）图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2b2，图是长为a+b，宽为ab的长方形，因此面积为（a+b）（ab），由图、图面积相等可得：（a+b）（ab）a2b2，故答案为：（a+b）（ab）a2b2；（2）原式（21）（2+1）（22+1）（24+1）（221）（22+1）（24+1）（241）（24+1）281，故答案为：281；（3）原式+（31）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+（321）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+（341）（34+1）（38+1）（316+1）+（381）（38+1）（316+1）+（3161）（316+1）+（3321）+
