1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a()A.0 B.1 C.2 D.3解析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1.曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.故选D.答案D2.若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4解析f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(1)4.答案D3.(2017杭州质测)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A.(1，3) B.(1，3)C.(1，3)和(1，3) D
2、.(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，经检验，点(1，3)，(1，3)均不在直线y2x1上，故选C.答案C4.(2017石家庄调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A.e B.e C. D.解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则y|xx0，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0，0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.答案C5.(2016郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x
3、)是g(x)的导函数，则g(3)()A.1 B.0 C.2 D.4解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案B二、填空题6.(2015天津卷改编)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_；f(x)在x1处的切线方程为_.解析f(x)aa(1ln x)，由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.f(x)3xln x，f(1)0，f(x)在x1处的切线方程为y3(x1)，即
4、为3xy30.答案33xy307.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.解析设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1.答案2xy108.(2015陕西卷)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析yex，曲线yex在点(0，1) 处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m
5、1，n1，则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)三、解答题9.(2017长沙调研)已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围.解(1)yx24x3(x2)211，当x2时，y1，y，斜率最小的切线过点，斜率k1，切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，.故的取值范围为.10.已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解(1)P(2，4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2，4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2，4)
6、处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 017(x)等于()A.sin xcos x B.si
7、n xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 017(x)f1(x)sin xcos x，故选D.答案D12.已知函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A.4 B. C.2 D.解析f(x)g(x)2x.yg(x)在点(1，g(1)处的切线方
8、程为y2x1，g(1)2，f(1)g(1)21224，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为4.答案A13.(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析yln x2的切线为：yxln x11(设切点横坐标为x1).yln(x1)的切线为：yxln(x21)(设切点横坐标为x2).解得x1，x2，bln x111ln 2.答案1ln 214.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求
9、此定值.解(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0).令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15.如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处
10、的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk，0)(k1，2，n).(1)试求xk与xk1的关系(k2，n)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解(1)设点Pk1的坐标是(xk1，0)，yex，yex，Qk1(xk1，exk1)，在点Qk1(xk1，exk1)处的切线方程是yexk1exk1(xxk1)，令y0，则xkxk11(k2，n).(2)x10，xkxk11，xk(k1)，|PkQk|exke(k1)，于是有|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1)，即|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.
