1、高考资源网（） 您身边的高考专家1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y
2、0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.【知识拓展】1一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2.3点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l
3、2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()1设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件
4、C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析(1)充分性：当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行；(2)必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1.所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件，故选A.2(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B2C.1D.1答案C解析依题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为()A7B1C1或7D.答案A解析l1的斜率为，在y轴上的截距为，l2
5、的斜率为，在y轴上的截距为.又l1l2，由得，m28m70，得m1或7.m1时，2，l1与l2重合，故不符合题意；m7时，4，符合题意4(2015蚌埠模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_答案25解析由于直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，所以a(b3)2b，即1(a，b均为正数)，所以2a3b(2a3b)136136225(当且仅当，即ab5时取等号)5(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0
6、，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A1B2C0或2D1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.答案(1)D(2)2解析(1)若a0，两直线方程为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.当a0时，若两直线平行，则有，解得a1或a2，选D.(2)方法一l1l2，k1k21，即1，解得a2.方法二l1l2，a20，a2.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为
7、零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论已知两直线l1：xysin10和l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一当sin0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin0时，k1，k22sin.要使l1l2，需2sin，即sin.所以k，kZ，此时两直线的斜率相等故当k，kZ时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin.所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin0，即sin1.故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要
8、条件，所以2sinsin0，即sin0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.题型二两条直线的交点与距离问题例2(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_答案(1)(2)x3y50或x1解析(1)方法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点
9、在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.(2)方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意方法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结
10、合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等(1)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.(2)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线
11、的方程解点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关
12、于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例4(2015日照模拟)已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_答案解析设A(x，y)，由已知得解得故A.命题点3直线关于直线的对称问题例5已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4
13、,3)由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2B1C.D.答案D解析建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为xy4，AB
14、C的重心为，设P(a,0)，其中0a4，则点P关于直线BC的对称点P1(x，y)，满足解得即P1(4,4a)，易得P关于y轴的对称点P2(a,0)，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为y(xa)，由于直线QR过ABC的重心(，)，代入化简可得3a24a0，解得a，或a0(舍去)，故P，故AP.18妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程思维点拨因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线
15、方程为3x4yc0 (c1)规范解答解依题意，设所求直线方程为3x4yc0 (c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.温馨提醒与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10 (C1C)，再由其他条件求C1.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系可以考虑用直线系方程求解典例求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思维点拨依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂
16、直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.温馨提醒与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.三、过直线交点的直线系典例求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程思维点拨可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解规范解答解方法一解方程组得P(0,2)因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.方法二设直线l的方
17、程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.温馨提醒本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解方法与技巧1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率
18、一定要特别注意2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法失误与防范1在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑2在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式A组专项基础训练(时间：40分钟)1已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有 ()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0答案C解析若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若A，则ba30.若B，根据垂直关系可知a21，所以a(a3b)1
19、，即ba30.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件2已知过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行，则m的值为()A1B2C2D1答案B解析由题意得：kAB，kCD.由于ABCD，即kABkCD，所以，所以m2.3当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在 ()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案B解析解方程组得两直线的交点坐标为，因为0k，所以0，0，故交点在第二象限4若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 ()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)答案B解析直线l1：yk(x
20、4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)5从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40B2xy10Cx6y160D6xy80答案A解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确6已知M，N(x，y)|ax2ya0且MN，则a_.答案2或6解析由题
21、可知，集合M表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去(2,3)点，而集合N表示一条直线，该直线的斜率为，且过(1,0)点，若MN，则有两种情况：集合M表示的直线与集合N所表示的直线平行，即3，解得a6；集合N表示的直线过(2,3)点，即2a23a0，解得a2，综上，a2或6.7已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_.答案0或解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，ab的值为0或.8已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_答案1
22、12解析若直线l1的倾斜角为，则aktan451，故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.9已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC为2xy110，联立lAC、lCM得C(4,3)设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.10已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点(1)若点A(5
23、,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，点A(5,0)到l的距离为3，3，即22520，2，或，l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立)dmaxPA.B组专项能力提升(时间：25分钟)11若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是 ()A2B2C4D2答案C解析因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100.欲求m2n2的最
24、小值可先求的最小值，而表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2n2的最小值为4.12.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b,3)ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S6.13在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距
25、离之和最小的点的坐标是_答案(2,4)解析如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和为PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)，直线AC的方程为y22(x1)，直线BD的方程为y5(x1)由得Q(2,4)14已知直线l：yx1，(1)求点P(3,4)关于l对称的点Q；(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程解(1)设Q(x0，y0)，由于PQl，且PQ中点在l上，有解得Q.(2)在l上任取一点，如M(0，1)
26、，则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7)当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，所求直线过点N且与l平行，所求方程为y7(x4)，即为x2y100.15已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以2x0y00或2x0y00；若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件- 18 - 版权所有高考资源网
