1、 高考资源网（） 您身边的高考专家立体几何（7）空间向量的应用1、在三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小为( )A.B.C.或D.或2、设直线与平面相交，且的方向向量为，的法向量为，若，则与所成的角为( )A.B.C.D.3、已知长方体中,是侧棱的中点,则直线与平面所成角的大小为( )A.B.C.D.以上都不对4、如图，在空间直角坐标系中，四棱锥为长方体，,点分别为的中点,则二面角的余弦值为( )A.B.C.D.5、如图所示，正方体中，分别在上，且则( )A.至多与之一垂直B.C.与相交D.与异面6、已知三棱柱的棱长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值
2、为( )A.B.C.D.7、已知二面角为，动点分别在平面内，点到的距离为，点到的距离为，则两点之间距离的最小值为( )A.B.2C.D.48、点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，则点到平面的距离为( )A.B.C.D.9、已知向量为平面的法向量，点在内，则点到的距离为( )A.B.C.D.10、如图，在直三棱柱中，,则直线与平面所成的角为( )A.B.C.D.11、在三棱锥中，已知两两垂直且相等，点分别是线段和上的动点，且满足,则和所成角的余弦的取值范围是_.12、在空间中，已知平面过点和及轴上一点，如果平面与平面的夹角为，则_.13、的两条直角边平面，则点到斜边的距离是_.14、如图1
3、,已知点分别是棱长为的正方体的棱的中点,点分别在线段上运动,当以为顶点的三棱锥的俯视图是如图2所示的正方形时,则点到平面的距离为_.15、如图,三棱柱中,侧面为菱形, .1.证明: ;2.若,求二面角的余弦值. 答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：当二面角为锐角时，它就等于；当二面角为钝角时，它应等于. 2答案及解析：答案：C解析：如图所示，直线与平面所成的角. 3答案及解析：答案：B解析：如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴，建立空间直角坐标系.由题意知，,所以.设平面的一个法向量为，则由得令，得，所以，.所以.所以直线与平面所成的角为. 4答案及解析：答案：C解析：设，
4、则,因为分别为,的中点，所以，所以,设是平面的法向量，则所以所以取，则，所以平面的一个法向量为.又平面，所以是平面的一个法向量，所以，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为，故选C 5答案及解析：答案：B解析：如图，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则，,故选B. 6答案及解析：答案：D解析：如图，设的中点为，连接,由题意知平面,，则以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为，则，.所以. 7答案及解析：答案：C解析：作，垂足分别为.分别在面内作，垂足分别为，如图所示，连接,则，为二面角的平面角.在中，同理.又
5、,.当取最小值0时，最小，此时. 8答案及解析：答案：B解析：如图，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，则,，设平面的法向量为，由得令，则，.点到平面的距离. 9答案及解析：答案：A解析：,点到平面的距离为. 10答案及解析：答案：A解析：在直三棱柱中，平面,即,以为坐标原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，,，,，.设平面的法向量为，则由得令，则，所以.设直线与平面所成角为,则,所以. 11答案及解析：答案：解析：根据题意，以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设,则，.，,所以.因为，所以当时，取得最大值；当时，取
6、得最小值，所以和所成角的余弦的取值范围是. 12答案及解析：答案：解析：平面的一个法向量为，设平面的法向量为，且由题意可设平面过三点，又,，则即，取，则.，又，. 13答案及解析：答案：3解析：以为坐标原点，分别为x轴，y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以,在上的投影长为,所以到的距离. 14答案及解析：答案：解析：根据俯视图可知,点的位置如图(1)所示.以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图(2),则,设平面的法向量为,由得,令,得平面的一个法向量为,所以点到平面的距离. 15答案及解析：答案：1.证明:连接,交于点,连接.因为侧面为菱形,所以,且为及的中点,又,所以平面.由于平面,故.又,故.2.因为,且为的中点,所以.又因为,所以,故,从而、两两互相垂直.以为坐标原点, 、的方向为轴、轴、轴的正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以为等边三角形,又,则, .设是平面的法向量 ,则,即.所以可取,设是平面的法向量,则.同理可取.则.所以二面角的余弦值为.解析： 高考资源网版权所有，侵权必究！
