1、第01讲二次根式(核心考点讲与练)一二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式“”称为二次根号a（a0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围二二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念形如（a0）的式子叫做二次根式（2）二次根式中被开方数的取值范围二次根式中的被开方数是非负数（3）二次根式具有非负性（a0）是一个非负数学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题【
2、规律方法】二次根式有无意义的条件1如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数2如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零一二次根式的定义（共7小题）1（上虞区期末）当x0时，二次根式的值等于（）A4B2CD0【分析】把x0代入二次根式，再求出即可【解答】解：当x0时，式故选：B【点评】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键2（下城区期末）已知二次根式，当x1时，此二次根式的值为（）A2B2C4D4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解【解答
3、】解：当x1时，原式，故选：A【点评】本题考查二次根式的化简，题目比较简单，理解二次根式的性质是解题关键3（鄢陵县期末）若是二次根式，则a的值不可以是（）A4BC90D2【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案【解答】解：是二次根式，a0，故a的值不可以是2故选：D【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键4（永嘉县校级期中）已知a为正整数，且为正整数，则a的最小值为5【分析】因为是正整数，且2，则5a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为5【解答】解：2，为正整数，2是正整数，即5a是完全平方数；a的最小正整数值为5故答案是：5【点评】主要考查了二次根式的定义二次根式有意
4、义的条件是被开方数是非负数把20分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键5（饶平县校级期末）已知是整数，自然数n的最小值为2【分析】根据自然数和二次根式的性质得出18n16，求出即可【解答】解：是整数，n为最小自然数，18n16，n2，故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出18n16是解此题的关键6（瓯海区期中）当x5时，二次根式的值为3【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值【解答】解：根据题意，得当x5时，3故答案是：3【点评】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键7（永嘉县校级期中）当x1时，二次根式的值是3【分析】把x1代入二次根式，再
5、开平方即可【解答】解：把x1代入3，故答案为：3【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是掌握算术平方根二二次根式有意义的条件（共10小题）8（衡阳期末）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案【解答】解：由题意得，2x20，解得，x1，故选：A【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键9（侯马市期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax3Bx3Cx3Dx3【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x30，解得：
6、x3故选：C【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键10（长兴县月考）求下列二次根式中字母的取值范围：（1）（2）【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零【解答】解：（1）由题可得，2k10，解得k；（2）由题可得k+10，解得k1【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数11（邗江区月考）计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简+|ca|+；（2）已知x
7、、y满足y，求5x+6y的值【分析】（1）利用二次根式的性质和绝对值的性质进行计算即可；（2）利用二次根式和分式有意义的条件可得x和y的值，进而可得答案【解答】解：（1）原式|a|+|ca|+|bc|a+ca+cb2ab+2c；（2）由题意得：，解得：x3，x30，解得：x3，x3，则y，5x+6y16【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及实数与数轴，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数和绝对值的性质12（富阳区期中）（1）若+y16，求的值（2）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求+mcd的值【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数；（2）根据相反数、倒数的
8、定义以及绝对值得到：a+b0，cd1，m2，代入求值即可【解答】解：（1）由题意，得解得x8所以y16所以原式242（2）a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，a+b0，cd1，m2，+m1m1当m2时，原式1当m2时，原式213综上所述，+mcd的值是1或3【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义13（永嘉县校级期中）计算（1）已知实数x，y满足x210x+250，求（x+y）2018的值（2）若x，y满足y+4，化简：【分析】（1）将等式左边根号外的部分配方，根据偶次方的非负性和二次根式有意义的条件
9、，可得x和y的值，问题可解；（2）根据0，0可得x的值，从而得y的范围，则可将所给式子化简【解答】解（1）x210x+250（x5）2+0（x5）20，0x50，y+40x5，y4（x+y）2018（54）20181（x+y）2018的值为1（2）0，0x22x0x2y+4，y0+0+4，y42+4y|y5|6y（5y）6y5+y1【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、偶次方的非负性及绝对值的化简，这都是基础的计算能力的考查，难度不大14（邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2有正数解，则符合条件的整数m的和是（）A7B6C5D4【分析】根据二次根式有意义，可得m2，解出关于x
10、的分式方程+2的解为x，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可【解答】解：去分母得，m+2（x1）3，解得，x，关于x的分式方程+2有正数解，0，m5，又x1是增根，当x1时，1，即m3m3，有意义，2m0，m2，因此5m2且m3，m为整数，m可以为4，2，1，0，1，2，其和为4，故选：D【点评】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键15（兴化市期中）已知y+3，则xy的值为【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值进而得出答案【解答
11、】解：y+3，2x50，解得：x，故y3，则xy故答案为：【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键16（永嘉县校级期中）若a，b为实数，a+3，求【分析】根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，然后代入代数式进行计算即可得解【解答】解：由题意得，2b140且7b0，解得b7且b7，所以b7，a3，所以，4【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数17（邵阳县模拟）已知+b+8（1）求a的值；（2）求a2b2的平方根【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出不等式组，求出a即可；（2）求出a、b的值，再求出平方根即可【解答】解：（1）+b+8，a1
12、70且17a0，解得：a17；（2）a17，b+80，b8，a2b2的平方根是15【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、平方根的定义等知识点，能求出a的值是解此题的关键题组A 基础过关练一选择题（共8小题）1（上虞区期末）当x0时，二次根式的值是（）A4B2CD0【分析】把x0代入，再求出即可【解答】解：当x0时，2，故选：B【点评】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键2（赣榆区期末）若为二次根式，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3Dm3【分析】根据二次根式的定义得出3m0，求出不等式的解集即可【解答】解：为二次根式
13、，3m0，解得：m3，故选：B【点评】本题考查了二次根式的定义和解一元一次不等式，能熟记二次根式的定义是解此题的关键3（鹿城区校级期中）在下列代数式中，属于二次根式的是（）A2aBCDa2+1【分析】根据二次根式的定义形如（a0）的式子叫做二次根式进行判断即可得【解答】解：A2a是整式，不符合题意；B由a2+10知是二次根式，符合题意；C是整式，不符合题意；Da2+1是整式，不符合题意；故选：B【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如（a0）的式子叫做二次根式4（晋州市期末）要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（）A2B0C1D2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求
14、出答案【解答】解：由题意可知：43x0，x，观察选项，只有选项D符合题意故选：D【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型5（下城区月考）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（）Ax2的实数Bx2的实数Cx2的实数Dx0且x2的实数【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可【解答】解：根据题意得，2x0，解得x2所以x应满足的条件是x2的实数故选：B【点评】本题考查了二次根式有意义的条件解题的关键是明确二次根式的被开方数是非负数6（诸暨市月考）下列各式中属于二次根式的是（）ABCD【分析】根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围【解答】解：A当x
15、10时，即x1时，是二次根式，故A不符合题意；B当x0时，是二次根式，故B不符合题意；C当x或x时，是二次根式，故C不符合题意；D无论x为任意实数，是二次根式，故D符合题意故选：D【点评】本题考查了二次根式的定义，确定被开方数中的字母取值范围是解题关键7（永嘉县校级期中）已知y+2，则x2y的值为（）A18B12C18D18【分析】根据二次根式非负性的性质求得x，y的值，代入要求的式子进行计算即可得出答案【解答】解：根据题意得：，解得：x3，则y2，x2y32（2）18故选：A【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，求得x，y的值是关键8（乐亭县期末）已知+2b+8，则的值是（）A3B3C5D
16、5【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值【解答】解：由题可得，解得a17，0b+8，b8，5，故选：C【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及化简，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键二填空题（共11小题）9（南丹县期末）当x3时，二次根式的值是2【分析】把x3代入二次根式求值即可得结果【解答】解：当x3时，二次根式2故答案是：2【点评】本题主要考查二次根式的代入求值，注意二次根式的符号，此类题比较简单10（东坡区期末）当xx1时，二次根式有意义【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，据此即可求解【解答】解：根据题意得：x
17、+10解得：x1故答案是：x1【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，是一个基础的题目11（余杭区期中）当x3时，的值最小【分析】根据二次根式的性质即可求出答案【解答】解：当x3时，此时2x60，的最小值为0，故答案为：3【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型12（永嘉县校级期中）已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件的n的最小值是2【分析】由n为正整数，也是正整数，知18n是一个完全平方数，再将18分解质因数，从而得出结果【解答】解：n为正整数，也是正整数，则18n是一个完全平方数，又18n232n32（2n），则2n是一个完全平方数，所以n的最
18、小值是2故答案为：2【点评】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数13（萧山区期末）当时，二次根式的值为【分析】把代入二次根式进行计算化简即可【解答】解：当时，故答案为：【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式化简的方法是解决问题的关键14（下城区期末）使二次根式有意义的a可以是3（答案不唯一）（只需填一个）【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可【解答】解：二次根式有意义，a20，即a2，则a可以是3故答案为：3（答案不唯一）【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开
19、方数必须是非负数，否则二次根式无意义15（西湖区期末）若在实数范围内有意义，则x满足x3【分析】根据二次根式的概念，形如（a0）的式子叫做二次根式，进而得出答案【解答】解：在实数范围内有意义，则x30，解得：x3故答案为：x3【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键16（永嘉县校级期中）已知y+5，则（x+y）20211【分析】依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的的值，进而得出（x+y）2021的值【解答】解：y+5，x40，4x0，解得x4，y5，（x+y）2021（1）20211，故答案为：1【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子
20、中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数17（靖江市模拟）已知a，b都是实数，则ab的值为4【分析】利用二次根式有意义的条件得到得，解得a，则可得到对应b的值，然后利用负整数指数幂的意义计算【解答】解：根据题意得，解得a，当a时，b2，所以ab（）24故答案为4【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围二次根式中的被开方数是非负数二次根式具有非负性（a0）是一个非负数18（婺城区校级期末）若实数x，y满足，则yx的值为2【分析】根据二次根式有意义的条件求得x2，则y，然后代入求值【解答】解：根据题意知，解得x2，所以y，所以y
21、x（）22故答案是：2【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义19（西湖区校级期中）已知y+3，a，则a【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x，y值，进而可求解a值【解答】解：由题意得2x80且2x80，2x80，解得x4，y0+0+33，a，故答案为【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数求解是解题的关键题组B 能力提升练一选择题（共2小题）1（饶平县校级期末）使代数式有意义，则a的取值范围为（）Aa2且a1Ba1Ca2Da2【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可求解a的
22、取值范围【解答】解：由题意得a+20且a10，解得a2且a1，故选：A【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键2（黄州区校级模拟）若u，满足v+，那么u2uv+v2（）ABCD【分析】依据与互为相反数，它们都是非负数，即可得到2uv，代入等式即可得到u和v的值，进而得出结论【解答】解：由题可得，与互为相反数，又它们都是非负数，0，2uv，v0+0+，u，u2uv+v2+，故选：D【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数二填空
23、题（共9小题）3（诸暨市期末）当x2时，二次根式的值是【分析】将x的值代入计算可得【解答】解：当x2时，故答案为：【点评】题主要考查了二次根式的定义，直接将x2代入求出即可解决问题4（金华）二次根式中，字母x的取值范围是x3【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可【解答】解：当x30时，二次根式有意义，则x3；故答案为：x3【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键5（拱墅区二模）二次根式中的字母a的取值范围是a1【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于a的不等式，继而可得出a的取值范围【解答】解：由题意得，a+10，
24、解得：a1故答案为：a1【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般6（射阳县期末）y中实数x的取值范围是x1，且x2【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+10，根据分式有意义的条件可得x20，再解即可【解答】解：由题意得：x+10，且x20，解得：x1，且x2，故答案为：x1，且x2【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数分式分母不为零7（砚山县三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是x3【分析】直接利用二次根式的性质得出3x的取值范围，进而求出答案【解答】解：二次根式有意义，3x0，解得：
25、x3故答案为：x3【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键8（诸暨市期末）小聪让你写一个含有字母a的二次根式具体要求是：不论a取何实数，该二次根式都有意义，且二次根式的值为正你所写的符合要求的一个二次根式是（a0）（答案不唯一）【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出符合题意的答案【解答】解：例如：（a0）（答案不唯一），故答案为：（a0）（答案不唯一）【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式定义是解题关键9（广安）要使有意义，则实数x的取值范围是x1【分析】根据二次根式的性质可以得到x1是非负数，由此即可求解【解答】解：依题意得x+10
26、，x1故答案为：x1【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题10（梧州）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x3【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案【解答】解：由题意可得：x30，解得：x3故答案为：x3【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键11实数a，b满足（2a+b）2+0，那么a4，b8【分析】由于平方、绝对值及二次根式都具有非负性，根据非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0，得出关于a、b的方程组，再根据二次根式的性质和分式的意义，确定a的取值范围，从而求出a、b
27、的值【解答】解：由题意，得，解得故a4，b8【点评】解决此题的关键：（1）掌握二次根式的基本性质：有意义，则a0；（2）几个非负数的和为0，这几个非负数都为0三解答题（共1小题）12（萧山区校级期中）（1）的整数部分为a，小数部分为b，求ab的值（2）已知，求yx【分析】（1）根据大于1小于2可知4在2到3之间，然后求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可求解；（2）根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0列式求出x的取值范围并解得x的值，然后求出y的值，代入代数式进行计算即可求解【解答】解：（1）134，12，243，a2，b422，ab2（2）22+；（2）根据题意得，x20且2x0，解得x2且x2，x2，y3，yx（3）29【点评】本题考查了无理数的估算与二次根式有意义的条件，（1）中“夹逼法”是估算无理数的大小常用的方法，（2）根据被开方数大于等于0得到x的值是解题的关键
