1、专题2.4解一元二次方程直接开平方法（知识讲解）【学习目标】1. 掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；2理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】直接开平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义可解得；（2） 直接开平方法适用于解形如或形式的方程，可以利用直接开平方法；（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
2、移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。【典型例题】类型一、解一元二次方程直接开平方法1用开平方法解下列方程：(1) ；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程；（2）利用直接开平方法解一元二次方程；（3）利用直接开平方法解一元二次方程；（4）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解（1）解：，即；（2）解：，即，即；（3）解：，即，即；（4）解：，解得：【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键举一反三：
3、【变式1】解方程：(1) (2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用开平方法解一元二次方程即可（2）用开平方法解一元二次方程即可解：（1），（2），【点拨】此题考查了用开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决此题的关键【变式2】求下列各式中的x：(1) ；(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可；（2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可解：（1），二次项系数化1，可得：，方程两边开平方，可得：；（2），解得：，【点拨】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键2解方程：(1)
4、(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移项，写成的形式，然后利用数的开方解答（2）方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解（1）解：移项得，开方得，解得，（2）方程两边直接开方得：，或，或，解得：，【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键举一反三：【变式1】解方程(1) (2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）首先移项、方程两边同乘以，然后方程两边开立方，计算即可；（2）首先去分母、移项，然后方程两边开平方，计算即可（1）解：移项、可得：，方程两边同乘以，可得：，方程两边开立方，可得：，；（2）解：去分母，可得：，移项，可得：
5、，方程两边开平方，可得：，于是得：或，【点拨】本题考查了解一元二次方程、立方根的定义、平方根的定义，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次【变式2】解下列方程：(1) (2x3)2=9(2)(3x1)2=(x+1)2【答案】(1)x1=3，x2=0；(2)x1=1，x2=0【分析】（1）直接开方即可求解；（2）直接开方即可求解解：(1)直接开平方，得：2x-3=3，2x-3=3或2x-3=-3，x1=3，x2=0；(2)直接开平方，得：3x-1=x+1，或3x-1=-(x+1)，2x=2，或4x=0，解得：x1=1，x2=
6、0【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方根的含义是解答本题的关键类型二、解一元二次方程直接开平方法应用3我们把形如x2=a（其中a是常数且a0）这样的方程叫做x的完全平方方程如x2=9，（3x2）2=25，都是完全平方方程那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（3）2=9可得x1=3，x2=3解决问题：（1）解方程：（3x2）2=25解题思路：我们只要把 3x2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了解：根据乘方运算，得3x2=5或3x2=分别解这两个一元一次方
7、程，得x1=，x2=1（2）解方程【答案】（1）5；（2）x1=，x2=【分析】（1）根据乘方运算求解；（2）根据题意给出的思路即可求出答案解：（1）3x2=5，（2）根据乘方运算，得x1=，x2=【点拨】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意.举一反三：【变式】嘉嘉和琪琪用图中的、四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：（1）嘉嘉说-2，对-2按的顺序运算，请列式并计算结果；（2）嘉嘉说，对按的顺序运
8、算后，琪琪得到的数恰好等于12，求【答案】（1），；（2）嘉嘉出的数是1或3【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可；（2）根据题意，可以得到关于x的方程，然后解方程即可解：（1）.（2）根据题意得，.为整数，嘉嘉出的数是1或3.【点拨】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出x的值4提出问题：我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程如：，都是完全平方方程那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解如：解完全平方方程的思路是：由，可得，解决问题：(1) 填空：解方
9、程：解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了解：根据乘方运算，得或_分别解这两个一元一次方程，得_，_(2) 解方程【答案】(1)5，(2)，【分析】（1）根据乘方运算求解即可；（2）根据题中给出的解题思路求解即可（1）解：，又，解得，解得故答案为：5，（2）（2）解：两边同时除以3得：根据乘方运算，得：或分别解这两个一元一次方程，得，【点拨】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意举一反三：【变式】（黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）解方程：【答案】，【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可解：或解得，【点拨】本题考查了解一元二次方程解题的关键在于灵活选取适当的方
10、法解方程类型三、解一元二次方程直接开平方法中考真题5（安徽统考中考真题）解方程：【答案】x=-1或x=3【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案解：x-1=2，x-1= 2或x-1=-2，解得：x=-1或x=3【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键举一反三：【变式】（浙江温州中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程；【答案】；，；【分析】利用公式法求解即可利用直接开平方法求解即可利用因式分解法求解即可；利用配方法求解即可；解：；a=1，b=-3，c=1，=（-3）2-411=50，,即；x-1=，；x（x-3）=0x=0或x=3，；
