1、教学设计3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应
2、指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些
3、简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.来源:Z_xx_k.Com教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复
4、习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良
5、好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师 上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课来源:学科网ZXXK师 我们已学习过
6、等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师 一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向_.（让同学回答）性质3
7、：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向_.（让同学回答）过程引导师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：aba+cb+c（或a-cb-c）；aba+cb+c（或a-cb-c）.性质2：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).性质3：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？生 对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.师 很好，c
8、可以为零吗？生 c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“”或“”则可以.师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）教师精讲师
9、 若点对应的实数为a，点对应的实数为b，因为点在点的左边，所以可得ab.ab表示a减去b所得的差是一个大于的数即正数，即aba-b0.它的逆命题是否正确？生 显然正确.师 类似地，如果ab，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于，它们的逆命题也正确.一般地,aba-b0;a=ba-b=0;aba-b0.师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师 由实数的基本性质可知，我们
10、如何比较两个实数的大小呢？生 只要考察它们的差就可以了.师 很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)合作探究【问题1】 已知x0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x0，得x20，从而(x2+1)2x4+x2+1.（学生对x0，得x20在说理过程中往往会忽略）来源:学|科|网师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据
11、学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（ab）.(1)与 (a0,b0);（2）a4b4与4a3（ab）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1），a0,b0且ab,a+b0,(a-b)20.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)22a2+(a+b)2,2a2+(a+b)20(当且仅当a=b=0时取等号)
12、,又ab,(a-b)20,2a2+(a+b)20.-(a-b)22a2+(a+b)20.a4-b44a3(a-b).师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差变形判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)合作探究【问题2】 求证：（1）ab且c0acbc；（2）aba+cb+c.师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质，ab,a-b0.又c0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c0，即a
13、cbc.师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？来源:学科网ZXXK生 ac-bc=(a-b)c，ab，a-b0.又c0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c0，所以得证.师 这位同学证明得是否正确？生 正确.师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，
14、只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，ab，a-b0，a+cb+c.师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)例题剖析已知ab0,c0，求证：.师 前面我们已经利用不等式及实
15、数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.ab0，两边同乘以正数，得，即b.又c0，.师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）ab,bc ac;ab,bc a-b0,b-c0 (a-b)+(b-c)0a-c0ac.（2）aba+cb+c;aba-b0 (a-b)+(c-c)0 (a+c)-(b+c)0a+cb+c.（3）ab,c0acbc;ab,c0a-b0,c
16、0 (a-b)c0ac-bc0acbc.（4）ab,c0acbc.ab,c0a-b0,c0 (a-b)c0ac-bc0acbc.布置作业课本第84页习题3.1A组3,组1.（3）（4）、2.板书设计不等关系与不等式（二）引入 方法引导 方法归纳来源:学#科#网不等式和实数的基本性质 实例剖析（知识方法应用） 小结示范解题习题详解（课本第83页练习）1.（1）a+b0；（2）h4；（3）2.这个两位数是57.3.（1）；（2）；（3）；（4）.（课本第84页习题3.1）A组1.略.2.(1)2+4；（2）.3.证明：因为x0,0,所以+x+1x+10.因为(1+)2(1+x)20,所以4.设A型
17、号帐篷有x个，则B型号帐篷有(x+5)个，5.设方案的期限为n年时，方案B的投入不少于方案A的投入，所以10500,即n2100.B组1.（1）因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+30,所以2x2+5x+9x2+5x+6.（2）因为(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=10,所以(x-3)2(x-2)(x-4).（3）因为当x1时，x3-(x2-x+1)=(x-1)(x2+1)0,所以x3x2-x+1.（4）因为x2+y2+1-2(x+y-1)=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+10,所以x2+y2+12(x+y-1)
18、.2.证明：因为ab0,cd0,所以acbd0.又因为cd0,所以0.于是.所以.3.设安排A型车厢x节，B型车厢y节，总费用为z.所以所以x28,且x30.所以或或.所以共有三种方案，方案一安排A型车厢28节，B型车厢22节；方案二安排A型车厢29节，B型车厢21节；方案三安排A型车厢30节，B型车厢20节.当时，总运费z=0.530+0.820=31(万元),此时运费最少.备课资料备用习题1.已知xyz0，求证：.分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.证明：xy,x-y0.又yz,.yz,-y-z.x-yx-z.0x-yx-z.又z0,.由
19、得.小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和2m+5；(2)a2-4a+3和4a+1.点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法：若AB0，则AB；若AB=0，则A=B；若AB0，则AB.这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法.解：(1)（m2-2m+5）-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2，m20，(m2-2m+5)-(-2m+5)0.m2-2m+5-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2,a20，a2+220.a2-4a+3-4a+1.
