1、高考资源网（） 您身边的高考专家6.3平面向量线性运算的应用素养目标定方向课程标准学法解读1.能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题2熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用1.通过向量在平面几何中的应用，提升直观想象、逻辑推理素养2通过向量在物理中的应用提升直观想象、数学运算素养必备知识探新知知识点向量在平面几何中的应用在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题证明线段平行问题 ，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)_ab_x1y2x2y10_(a
2、(x1，y1)，b(x2，y2)知识点用向量运算解决平面几何问题的“三步法” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系(3)把运算结果“翻译”成几何关系思考：(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题？(2)这里的“向量运算”是指什么运算？提示：(1)平面几何中的全等、相似、平行等问题(2)向量的线性运算知识点向量在物理中的应用我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成(1)力、速度、位移的合成就是向量的_加法_，符
3、合向量加法的三角形法则和平行四边形法则(2)力、速度、位移的分解就是向量的_减法_，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则(3)动量mv就是_数乘向量_，符合_数乘_向量的运算律关键能力攻重难题型探究题型用向量解决平面几何问题典例剖析_典例1在四边形ABCD中，2a3b，8ab，10a4b，且a，b不共线，试判断四边形ABCD的形状分析由题设条件求出AD2BC且AB不平行于CD可得ABCD是梯形解析2a3b，8ab，10a4b，16a2b，2，ADBC，AD2BC且AB不平行于CD四边形ABCD是梯形规律方法：利用向量线性运算解决几何问题的思路(1)把几何元素化为向量(2)进行向量的线性运算
4、(3)把结果翻译成几何问题对点训练_1如图，已知ABC的面积为14 cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且ADDBBEEC21，求APC的面积解析设a，b为一组基底则ab，aB因为点A，P，E和D，P，C分别共线，所以存在和使ab，aB又因为()ab，所以解得所以SPABSABC148(cm2)，SPBCSABC(1)142(cm2)，故SAPC14824(cm2)题型用向量坐标解决平面几何问题典例剖析_典例2已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ADC90，若点M在线段AC上，则|的取值范围为_，2_解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0
5、,2)，设(01)，则M(，2)，故(，22)，(2，2)，则(22，24)，|，当0时，|取得最大值为2，当时，|取得最小值为，|，2，故答案为，2规律方法：用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键对点训练_2证明：直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半解析建立如图所示的平面直角坐标系设C(0,0)，A(a,0)，B(0，b)则AB，中点D的坐标为(，)，即(，)，OD|，即CD，故CDAB题型向量在物理中的应用典例剖析_典例3帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞
6、速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向分析建立直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量的加法进行求解解析建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30，速度为|v1|20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则vv1v2由题意，可得向量v1(20cos60，20sin60)(10，10)，向量v2(20,0)则帆船的行驶速度vv1v2(10,10)(20,0)(30,10)，所以|v|20(km/h)因为tan(为v和v2的夹角，
7、为锐角)，所以30所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20km/h规律方法：用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示；(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；(3)结果还原为物理问题对点训练_3物体W的质量为50千克，用绳子将物体W悬挂在两面墙之间，已知两面墙之间的距离AB10米(AB为水平线)，AC6米，BC8米，求AC，BC上所受的力的大小解析如图建立直角坐标系，设|f1|a，|f2|b，则f1(a，a)，f2(b，b)，又f1f2(0,50)，所以解得即a294(牛顿)，b392(牛顿)所以AC，BC上所受的力的大小分别为392 N,294N易错警示典例剖析_典例4在一点O上作用着两个力，它们的大小分别等于5和3，夹角为30，求此时它们合力的大小错解如图所示，设与的夹角为30，且|5，|3，则|.根据向量加法的三角形法则，有538辨析此题在计算过程中混淆了向量与向量模的概念正解 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(5,0)、B(，)设点C的坐标为(x，y)(5,0)，(x，y)，|- 6 - 版权所有高考资源网
