1、5.5.2简单的三角恒等变换知识点一利用半角公式求值1已知23，cosm，则sin()A B.C D.答案A解析因为23，所以.又cosm，所以sin，故选A.2若sin()且，则sin()A B C. D.答案B解析由题意知sin，所以cos.因为，所以sincos .故选B.3已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为()A. B. C. D.答案B解析设等腰三角形的顶角为，底角为，则cos.又，所以coscossin ，故选B.4已知sin，3，则tan的值为()A3 B3 C. D答案B解析3，sin，cos，3，.则tan 3.5已知为钝角，为锐角，且sin，sin，求c
2、os的值解因为为钝角，为锐角，sin，sin，所以cos，cos.所以cos()coscossinsin.因为，且0，所以0，即0.所以cos .知识点二三角函数式的化简、求值6若3sinxcosx2sin(x)，(，)，则等于()A B. C. D答案A解析因为3sinxcosx22sin，且(，)，由3sinxcosx2sin(x)，得.故选A.7已知sin2，02，则_.答案解析.因为sin2，020)的最小正周期是，则函数f(x)2sin的一个单调递增区间是()A. .C. .答案B解析ycos2xsin2xcos2x(0)，因为函数的最小正周期为，故，所以1.则f(x)2sin2si
3、n.由2kx2k，kZ，得2kx2k(kZ)，当k1时，函数的一个单调递增区间是.12函数f(x)sinxcosx(xR)的值域是_答案2,2解析f(x)22sin，f(x)2,213函数ysin2xsinxcosx1的最小正周期是_，单调递增区间是_答案，kZ解析ysin2xsinxcosx11sin.最小正周期T.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以函数的单调递增区间是，kZ.14已知函数f(x)4cosxsin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)4cosxsin14cosx1sin2x2cos2x1sin2xcos2x2sin
4、，所以f(x)的最小正周期为.(2)因为x，所以2x.于是当2x，即x时，f(x)max2；当2x，即x时，f(x)min1.知识点四三角恒等式的证明15求证：.证明左边.右边，所以左边右边，即等式成立16在ABC中，求证：tantantantantantan1.证明A，B，C是ABC的三个内角，ABC，从而有.左边tantantantantantantantantantantan1tantantantan1右边，等式成立知识点五三角恒等变换在几何中的应用17点P在直径AB1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT1，PAB，则当为何值时，四边形ABTP的面积最大？解如图所示因为AB为半圆的直径
5、，所以APB，又AB1，所以PAcos，PBsin.又PT切半圆于P点，所以TPBPAB，所以S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTPBsinsincossin2sin2(1cos2)sin.因为0，所以2，所以当2，即时，S四边形ABTP取得最大值.易错点一忽略角的范围致误已知1sinx25cos2x0，x是第二象限角，则cos_.易错分析本题易由x是第二象限角，得x，从而得到错误答案：.事实上2kx2k(kZ)，因为的范围跨象限，所以其余弦值符号不确定，必须进行分类讨论答案正解由1sinx25cos2x0，得25sin2xsinx240，解得sinx或sinx1.因为x是第二象限角，
6、所以2kx2k(kZ)，sinx，cosx，所以k1，则x的取值范围为_(填写区间形式)易错分析本题易得到如下错解：sinxcosx1，两边平方，得2sinxcosx0，即sin2x0，2k2x2k(kZ)，即kx1，必须有sinx0且cosx0.答案(kZ)正解sinxcosx1，即sin1，sin，即2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)一、单项选择题1设56，cosa，则sin等于()A. B.C D答案D解析若56，则，则sin.2若，则 等于()Acossin BcossinCcossin Dcossin答案D解析因为，所以sin0，cos0，则 |cos|sin|cossin.3若
7、2sinx1cosx，则tan的值等于()A. B.或不存在C2 D2或答案B解析由已知，得，tan.当x2k，kZ时，tan不存在4已知coscos，则sincos的值是()A. B C D.答案C解析因为coscossincossincos2.所以cos2.因为，所以2，所以sin2，且sincos0.所以(sincos)21sin21.所以sincos.5若函数f(x)(1tanx)cosx,0x，则f(x)的最大值为()A1 B2 C1 D2答案B解析f(x)(1tanx)cosxcosxsinx22sin，0x，x0)，定义：sos，称“sos”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”y
8、sosx，有同学得到以下性质，其中正确的是()A该函数的值域为，B该函数为周期函数，且最小正周期为2C该函数的单调递减区间为，kZD该函数的单调递增区间为，kZ答案ABD解析由题意可知ysosxsinxcosx，即ysin.对于A，sin，故A正确；对于B，由ysin，知该函数为周期函数，且最小正周期为2，故B正确；对于C，因为当2kx2k(kZ)时，该函数单调递减，即2kx2k(kZ)，故C错误；对于D，因为当2kx2k(kZ)时，该函数单调递增，即2kx2k(kZ)，故D正确故选ABD.三、填空题13化简的结果是_答案sin1cos1解析|sin1cos1|，因为1，所以sin10，cos
9、10，则sin1cos1.14在ABC中，若3cos25sin24，则tanAtanB_.答案解析因为3cos25sin24，所以cos(AB)cos(AB)0，所以cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB0，即cosAcosB4sinAsinB，所以tanAtanB.15设f(x)sin3xcos3x，若对任意实数x都有mf(x)，则实数m的取值范围是_答案(，2解析因为f(x)sin3xcos3x22sin，所以f(x)min2，于是若对任意实数x都有mf(x)，则m2.16已知函数f(x)4cosxsin(0)的最小正周期为，则_，f(x)在区间上的单调递增区间为
10、_答案1解析f(x)4cosxsin2sinxcosx2cos2x(sin2xcos2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.所以f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x，f(x)单调递增，所以f(x)在区间上的单调递增区间为.四、解答题17已知sinsin，0，求cos的值解sinsinsincoscossinsinsincos.sincos，sin.0，cos.coscoscoscossinsin.18证明：tan.证明左边tan右边所以原等式成立19已知函数f(x)cos(x)coscos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)求f(x)在上的单
11、调递增区间解f(x)(cosx)(sinx)sin2xcos2xsin.(1)f(x)的最小正周期为，最大值为1.(2)令2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)，所以f(x)在上单调递增，即f(x)在上的单调递增区间是.20. 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是POQ的平分线，E在P上，连接OC，记COE，则角为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积解如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在RtONC中，CNsin，ONcos，OMDMCNsin，所以MNONOMcossin，即ABcossin，而BC2CN2sin，故S矩形ABCDABBC(cossin)2sin2sincos2sin2sin2(1cos2)sin2cos222sin.因为0，所以02，2.故当2，即时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD2.
