1、第4节随机事件、频率与概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.概率与频率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).2.事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)3.事件的
2、关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)BA(或AB)互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若AB，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为若AB，且AB，则A与B对立1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.2.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥
3、时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()答案(1)(2)(3)(4)解析随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错.(4)中，甲中奖的概率与乙中奖概率相同.2.(2021珠海期末)一个人打靶时连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是()A.至多有一次中靶
4、 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶答案D解析“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确.3.已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(AB)，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为()A.1 B. C. D.0答案C解析事件与事件AB是对立事件，事件发生的概率P()1P(AB)1，则此人猜测正确的概率为.4.(2020全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率
5、为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A.10名 B.18名 C.24名 D.32名答案B解析由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即第二天确保完成新订单1 600份，减去超市每天能完成的1 200份，加上积压的500份，共有1 6001 200500900(份)，至少需要志愿者9005018(名).5.(多选)(2022烟台模拟)下列命题正确的是()A.对立事件一定是互斥事件B.若AB为不可能事件，则P(AB)P(A)P(B)C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)P(B)P
6、(C)1D.事件A，B满足P(A)P(B)1，则A，B是对立事件答案AB解析由对立事件的定义可知A正确；由于AB为不可能事件，所以A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，即B正确；事件A，B，C两两互斥，并不代表ABC是必然事件，故C不正确；D中，设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)，P(B)，满足P(A)P(B)1，但A，B不是对立事件，故D不正确.6.一只袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个球，若取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_，至少取得一个红球的概率为_.答案解析由
7、于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，则要取得两个同颜色的球，只需两个互斥事件中有一个事件发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率P.记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，事件A与事件B是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)1P(B)1.考点一随机事件的关系1.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案BCD解析排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它
8、们都不互斥.故选BCD.2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()A.AB与C是互斥事件，也是对立事件B.BC与D是互斥事件，也是对立事件C.AC与BD是互斥事件，但不是对立事件D.A与BCD是互斥事件，也是对立事件答案D解析A中，AB与C是互斥事件，但不对立，因为P(AB)P(C)0.71，故A错误；B中，BC与D是互斥事件，但不对立，因为P(BC)P(D)0.81，故B错误；C中，AB与CD是互斥事件，也是对立事件，因为P(AB)P(CD)1，故C错误；D中，A与BCD是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)P(B
9、CD)1，故D正确.3.(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是()A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件D.P(CE)1答案AD解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A与D是对立事件，A正确；CE为必然事件，P(CE)1，D正确.感悟提升1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(
10、1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.考点二随机事件的频率与概率例1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求
11、量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为
12、0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y2006(450200)24504100；若最高气温位于区间20，25)，则Y3006(450300)24504300；若最高气温不低于25，则Y450(64)900，所以，利润Y的所有可能值为100，300，900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.感悟提升1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大
13、小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.训练1 (2020全国卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下
14、：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525575频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为15.由数据知乙分厂
15、加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润7030070频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.考点三互斥事件与对立事件的概率例2 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则MABC.A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(
16、C).故1张奖券中奖的概率为.(2)设“1张奖券既不中特等奖也不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1P(A)P(B)1.故1张奖券既不中特等奖也不中一等奖的概率为.感悟提升1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.训练2 经统
17、计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(D
18、EF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.1.下列说法正确的是()A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案D解析由概率的意义知D正确.2.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是()A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡C.都不
19、是移动卡 D.至少有一张移动卡答案A解析由题意知“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又1，故“至多有一张移动卡”的概率是.3.(2022太原模拟)已知随机事件A和B互斥，且P(AB)0.7，P(B)0.2，则P()()A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8答案A解析随机事件A和B互斥，且P(AB)0.7，P(B)0.2，P(A)P(AB)P(B)0.70.20.5，P()1P(A)10.50.5.4.(多选)(2021武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是()A.甲不输的概率 B.乙不输的概率C.乙获胜的概率 D.乙输的概率答案
20、ABD解析因为甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，所以甲不输的概率，故A正确；所以乙不输的概率1，故B正确；所以乙获胜的概率1，故C错误；所以乙输的概率即为甲获胜的概率是，故D正确，故选ABD.5.(多选)(2022重庆诊断)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A“向上的一面出现奇数点”，事件B“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有()A.BB.C“向上的一面出现的点数大于3”C.AC“向上的一面出现的点数不小于3”D.“向上的一面出现的点数为2”答案BC解析由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本
21、点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6.所以B“向上的一面出现的点数为2”，故A错误；C“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；AC“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；，故D错误，故选BC.6.(多选)下列说法正确的是()A.若事件A与B互斥，则AB是必然事件B.西游记三国演义水浒传红楼梦是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E“甲取到红楼梦”，事件F“乙取到红楼梦”，则E与F是互斥但不对立事件C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A“向上的点数不大于5”，事件B“向上的点数为质数”
22、，则BAD.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点答案BCD解析对于A，事件A与B互斥时，AB不一定是必然事件，故A错误；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故B正确；对于C，事件A1，2，3，4，5，事件B2，3，5，所以B包含于A，故C正确；对于D，样本空间正品，次品，含有2个样本点，故D正确.7.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量(mm)(100，150)(150，200)(200，250)(2
23、50，300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是_.答案0.25解析设年降水量在(200，300)，(200，250)，(250，300)的事件分别为A，B，C，则ABC，且B，C为互斥事件，所以P(A)P(B)P(C)0.130.120.25.8.若事件A与B是互斥事件，且事件AB发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为_.答案0.16解析设P(A)x，则P(B)3x，所以P(AB)P(A)P(B)x3x0.64，所以P(A)x0.16.9.某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3
24、060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为_.答案解析由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率P.10.盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有1个红球、2个白球，事件B3个球中有2个红球、1个白球，事件C3个球中至少有1个红球，事件D3个球中既有红球又有白球.(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故DAB.(2)对于
25、事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球，1个白球或3个红球，故CAA.11.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那
26、么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102 000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550.故所求概率为0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372.故所求概率估计为10.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.12.(多选)(2022海口模拟)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需
27、时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：所需时间(分钟)30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是()A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案BD解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为300.5400.2500.2600.139分钟，线路二所需的平均
28、时间为300.3400.5500.1600.140分钟，所以B正确；线路一所需时间小于45分钟概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟概率为0.8，小张应选线路二，故C错误；所需时间之和大于100分钟则线路一，线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.20.10.10.10.10.10.04，故D正确.故选BD.13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为_，他至多参加2个小组的概率为_.答案解析记“恰好参加2个小
29、组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)，恰好参加3个小组的概率P(B)，则至少参加2个小组的概率为P(A)P(B)，至多参加2个小组的概率为1P(B)1.14.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解(1)分别用2，3，4，4表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12种不同的情况.(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是.(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4，2)，(4，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.因此，所以此游戏不公平.
