1、第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作ab.规
2、定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求两个向量差的运算aba(b)数乘规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.1.中点公式的向量形式：
3、若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则().2.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()答案(1)(2)(3)(4)解析(2)若b0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B
4、，C，D四点不一定在一条直线上.2.(多选)(2022威海月考)下列说法正确的是()A.非零向量a与b同向是ab的必要不充分条件B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与b反向D.设，为实数，若ab，则a与b共线答案ABC解析根据向量的有关概念可知ABC正确，对于D，当0时，a与b不一定共线，故D错误.3.(2021长沙调研)已知点O为ABC的外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A.30 B.45 C.60 D.90答案A解析由0，得，又O为ABC的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且CAO60，因此CAB30.4.(易
5、错题)下列四个命题中，正确的是()A.若ab，则abB.若|a|b|，则abC.若|a|b|，则abD.若ab，则|a|b|答案D解析A中，ab，则ab，故A不正确；B、C中，由于向量a，b的大小相等，但其方向不确定，故B、C都不正确；D显然正确.5.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A解析法一如图所示，()()，故选A.法二()，故选A.6.设a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b2a)共线，则_.答案解析由已知2ab0，依题意知向量ab与2ab共线，设abk(2ab)，则有(12k)a(k)b0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向
6、量，所以解得k，.考点一平面向量的概念1.(多选)下列命题中正确的有()A.平行向量就是共线向量B.相反向量就是方向相反的向量C.a与b同向，且|a|b|，则abD.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件答案AD解析由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确.2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A.
7、ab B.abC.a2b D.ab且|a|b|答案C解析因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除A，B，D.当a2b时，故a2b是成立的充分条件.3.(多选)下列命题正确的有()A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”答案AD解析方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量
8、相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A，B，C，D是不共线的点，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.感悟提升平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.考点二向量的线性运算角度1平面向量的加、减运算的几何意义例1 (1)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下列结论正确的是()A.ab B.abC.|a|b| D.aba
9、b答案B解析由已知a，b不共线，在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|，知|，从而ABCD为矩形，即ABAD，故ab.(2)若|2，则|_.答案2解析因为|2，所以ABC是边长为2的正三角形，所以|为ABC的边BC上的高的2倍，所以|2.角度2向量的线性运算例2 (1)(多选)如图所示，在ABC中，D是AB的中点，下列关于向量表示正确的是()A.B.C.D.答案AD解析对于A，因为D是AB的中点，所以，因为，所以，所以A正确；对于B，由三角形法则得，所以B不正确；对于C，所以C不正确；对于D，因为D是AB的中点，所以，所以D正确.(2)如图，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A
10、.1 B.2 C.3 D.4答案C解析法一由题图可得()().因为rs，所以r，s，则2r3s123.法二因为2，所以2()，整理，得()，以下同法一.法三如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m0，h0.由rs，得(4m，2h)r(4m，0)s(3m，3h)，所以解得所以2r3s123.感悟提升1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面
11、几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.训练1 (1)(2021昆明二模)已知点P是ABC所在平面内一点，且0，则()A.B.C.D.答案D解析由题意，而0，30，又，即320，.(2)在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若xy，则xy()A.2 B. C.3 D.答案B解析如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，于是，因此，因为xy，所以x且y1，故xy.考点三共线向量定
12、理的应用例3 设两向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个向量，kk10，k210，k1.感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三
13、点共线，共线.(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.训练2 (1)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，若A，B，C三点共线，则，的关系一定成立的是()A.1 B.1C.1 D.2答案A解析与有公共点A，若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使t，即abtatb，则消去参数t得1；反之，当1时，ab，此时存在实数使，故和共线.与有公共点A，A，B，C三点共线.故选A.(2)(2022石家庄模拟)设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为_.答案解析由题意，A，B，D三点共线，故必存
14、在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k.(3)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_.答案2解析连接AO，则()，因为M，O，N三点共线，所以1，所以mn2.1.已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是()A.ab0B.abC.a与b共线反向D.存在正实数，使ab答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，所以a与b共线同
15、向，故D正确.2.已知a5b，3a6b，4ab，则()A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线答案A解析由题意得a5b，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线.3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，等于()A.0 B.C. D.答案D解析根据正六边形的性质，易得，.4.矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22()A. B. C.1 D.答案A解析()，.22.5.(2022广州一模)在ABC中，点M为AC上的点，且，若，则的值是()A.1 B. C. D.答案C解析由，得，所以()，又因为，所以，故.6.(多选
16、)设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点M是边BC的中点B.若2，则点M在边BC的延长线上C.若，则点M是ABC的重心D.若xy，且xy，则MBC的面积是ABC面积的答案ACD解析若，则点M是边BC的中点，故A正确；若2，即有，即，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若，即0，则点M是ABC的重心，故C正确；如图，xy，且xy，可得22x2y，设2，则M为AN的中点，则MBC的面积是ABC面积的，故D正确.7.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba
17、2b，则得解得.8.在锐角ABC中，3，xy(x，yR)，则_.答案3解析由题设可得3()，即43，即.又xy，则x，y.故3.9.已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题有_.答案解析a，b，()ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；baabba0，故正确.10.已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac，2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.解由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要
18、条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上.11.如图，在ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设a，b.(1)试用a，b表示，；(2)证明：B，E，F三点共线.(1)解在ABC中，因为a，b，所以ba，a(ba)ab，ab.(2)证明因为ab，aab，所以，与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线.12.(多选)(2022武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：三角形的外心
19、、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是()A.2B.0C.设BC边的中点为D，则有3D.答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线.对于A，由题意得，2，ODBC，AHBC，所以ODAH，所以2，所以A正确；对于B，由题意得，2，所以0，所以B正确；对于C，由题意知AG2GD，又GH2OG，AGHDGO，所以AGHDGO，所以2，故C错误；对于D，向量，的模相等，方向不同，故D错误.故选AB.13.如图，在ABC中，P是BN上一点，若t，则实数t的值为_.答案解析法一因为，所以，所以tt，因为B，P，N三点共线，所以t1，所以t.法二因为，所以，设，则()(1).又t，所以t(1)，得解得t.14.经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR.(1)证明：为定值；(2)求mn的最小值.(1)证明设a，b.由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去得3.(2)解由(1)知，3，于是mn(mn)(22).当且仅当mn时，mn取得最小值，最小值为.
