1、章末培优专练1.转化思想结合整体法求多个正方形的面积和在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=.答案1.4如图,利用“A.A.S.”容易证明RtACBRtBDE,所以BC=ED,所以AC2+ED2=AC2+BC2=AB2,所以S1+S2=1.同理S3+S4=3.所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.2.已知RtABC的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,斜边上的高为h,试判断以h,c+h,a+b为边长的三角形的形状,并说明理由.答案3.非直角三角形三边关系的探究
2、在ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.(1)若C为直角,则由勾股定理得a2+b2=c2.若C为锐角,求证:a2+b2c2.若C为钝角,试判断a2+b2与c2的关系,并证明.(2)若a=3,b=4,且ABC是钝角三角形,求第三边的长c的取值范围.答案3.(1)证明:过点A作ADBC于点D,如图1,则BD=BC-CD=a-CD.在RtABD中,AB2-BD2=AD2,在RtACD中,AC2-CD2=AD2,AB2-BD2=AC2-CD2,c2-(a-CD)2=b2-CD2,整理得a2+b2=c2+2aCD.a0,CD0,a2+b2c2.4.利用勾股定理进行方案设计如图,A,B是公路l(l为东西
3、走向)同旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=2 km,B村到公路l的距离BD=4 km,CD=8 km.(1)求出A,B两村之间的距离的平方的值;(2)为了方便运输两村的垃圾,现计划在公路边建一个垃圾中转站M,要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小,并求距离之和的最小值;(3)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置.(保留清晰的作图痕迹,不写作法)答案4.解:(1)如图1,连接AB,过点A作AEBD于点E,则AE=CD=8 km,BE=BD-AC=2 km.在RtABE中,由勾股定理,得AB2=AE2+BE2=82+22=68,
4、所以A,B两村之间的距离的平方的值为68.(2)如图2,作点A关于直线l的对称点A,连接AB交直线l于点M,连接MA,MB,则点M即所求作的点,此时MA+MB的值最小.过点A作AFBD,交BD的延长线于点F,则BF=BD+DF=BD+AC=BD+AC=4+2=6(km),AF=CD=8 km.在RtABF中,由勾股定理,得AB2=82+62=100,从而AB=10 km,所以距离之和的最小值为10.(3)如图3,连接AB,作AB的垂直平分线GH,交直线l于点P,连接PA,PB,则PA=PB,所以点P即所求.1 2021滨州中考在RtABC中,若C=90,AC=3,BC=4,则点C到直线AB的距
5、离为()A.3B.4C.5D.2.4答案答案答案4.新考法2021常德中考阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,给出下面四个结论:7不是广义勾股数;13是广义勾股数;两个广义勾股数的和是广义勾股数;两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是()A.B.C.D.答案4.C7不能表示为两个正整数的平方和,7不是广义勾股数,故结论正确;13=22+32,13是广义勾股数,故结论正确;两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故结论错误;设m1=a2+b2,m2=c2+d2,则m1m2=(a
6、2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,当a=c,b=d时,ad-bc=0,两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,故结论错误,正确的是.5.2020绥化中考在RtABC中,C=90.若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是.答案5.17根据题意得,AC2+BC2=AB2,所以(AB-2)2+82=AB2,所以AB=17.6.数学文化2021宿迁中考九章算术中一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭长各几何?”题意是
7、:有一个池塘,其地面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C处(如图),水深和芦苇长各多少尺?则该问题的水深是尺.答案6.12如图,设芦苇长AC=AC=x尺,则水深AB=(x-1)尺,CE=10尺,CB=5尺.在RtACB中,由勾股定理,得CB2+AB2=AC2,52+(x-1)2=x2,解得x=13,即芦苇长13尺,水深为12尺.7.2020雅安中考对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2
8、+CD2=.答案7.20因为ACBD,所以AOD=AOB=BOC=COD=90.由勾股定理,得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,所以AB2+CD2=AD2+BC2.因为AD=2,BC=4,所以AB2+CD2=22+42=20.8.2020苏州中考如图,在ABC中,已知AB=2,ADBC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点,则EC=.答案8.1设AE=ED=x,CD=y,BD=2y.ADBC,ADB=ADC=90.在RtABD中,AB2=AD2+BD2=4x2+4y2=4,x2+y2=1.在RtCDE中,EC2=x2+y2=1,EC=1.
