1、江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题1. 已知（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，复数.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式确定集合，再由补集定义求解【详解】或，故选：A【点睛】本题考查集合的补集运算，掌握补集的
2、定义是解题基础3. 若某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手次射击中恰有次击中目标的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式计算，即可求出结果.【详解】解：这名射手3次射击中恰有次击中目标，则另外两次没有击中，所以概率为.故选：C.【点睛】本题考查求独立重复事件的概率公式，熟悉n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式是解题的关键，属于基础题.4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为
3、，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.5. 已知，且，则向量与的夹角余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由两向量垂直数量积为0，对化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，可得，解得故选：B【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了理解辨析能力和运算求解能力，属于一般题目.6. 展开式中，项的系数为（ ）A. 55B. 40C. 35D. 15【答案】A【解析】【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得项的系数.【详解】由于，所以含的项为，所以项的系数为.故选：A.【点睛】本小题主要考查利用二项式展开式的
4、通项公式计算特定项的系数，属于中档题.7. 已知，其中，已知，且，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判定函数为单调减函数，利用基本不等式得到，结合函数的单调性得到的大小关系.【详解】,可得,为单调减函数，,，故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性，基本不等式判定大小关系，涉及对数函数的单调性，三角函数的性质，属中档题.8. 在三棱锥中，为中点，当该三棱锥的体积的最大值为时，其外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求得底面积的最大值和此时底面直角三角形的直角边长，根据体积最大值求得棱锥的高，得到平面，进而确定
5、球心在上，并利用勾股定理求得外接球的半径，进而得到表面积.【详解】，故底面三角形外接圆半径为，外接圆圆心为斜边中点.，当时等号成立，设三棱锥的高为,则故，故，当外接球体积最大时平面，且,.设三棱锥外接球球心为，球的半径为,则在上，,在中，化简得到，故.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，涉及基本不等式求最值，球的表面积公式，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，属中档题.二、多项选择题9. 下列说法中，正确的命题是（ ）A. 已知随机变量服从正态分布，则B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，则
6、D. 若样本数据，的方差为8，则数据，的方差为2【答案】CD【解析】【分析】利用正态分布的对称型可以求得的值，进而判定A错误;根据相关系数的意义可以判定B错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据，的方差，进而判定D正确.【详解】A. 已知随机变量服从正态分布，则，所以，所以,，故A错误；B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，则，故C
7、正确；D. 设数据，的方差为,样本数据，的方差为8，则，即数据，的方差为2，故D正确.故选:CD.【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般.10. 关于函数，如下结论中正确的是（ ）A. 函数的周期是B. 函数的值域是C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在上递增【答案】ACD【解析】【分析】根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利用对称性定义判断C，同样利用周期性判断D【详解】A，是周期为的周期函数，A正确，B当时，此时，又的周期是，时，值域是，B错；C，函数的图象关于直线对称，C正确；D由B知时，当时，单
8、调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增D正确故选：ACD【点睛】本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域11. （多选题）在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与平面平行B. 平面截正方体所得的截面为三角形C. 异面直线与所成角为D. 的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】，利用面面的性质即可判定直线与平面平行；，平面截正方体所得的截面可能为四边形；，异面直线与所成的角为，即可判定；，原
9、问题相当于：，直线，间距离为1，在上找一点使得到上两点间距离之和最小只需找到关于的对称点即可【详解】对于，面面，即可判定直线与平面平行，故正确；对于，如图1，平面截正方体所得的截面可能为四边形，故错误；对于，如图2，异面直线与所成的角为，因为为等边三角形，即可判定异面直线与所成的角为，故正确；对于，如图3，如图4，原问题相当于：，直线，间距离为1，在上找一点使得到上两点间距离之和最小只需找到关于的对称点，的最小值即为线段的长度，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了空间点线面位置关系，考查了转化思想、空间想象能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平12. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对
10、称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函数B. 的周期C. D. 在单调递减【答案】ABC【解析】【分析】由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.【详解】由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，A正确；由，令，可得，则，则的周期，B正确；，故C正确；又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，故D错误.故答案为：ABC【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.三、填空题13. 某单位在6名男职工和3名女职工中，
11、选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为_.（结果用数值表示）【答案】120【解析】【分析】从9名职工中选取5人，总的方法为，选择全都是男职工的情况为，相减即为男、女职工各至少一名的选取种数.【详解】在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，总的方法为，选择全都是男职工的情况为，所以男、女职工各至少一名的选取种数为种故答案为：.【点睛】本题考查了组合数的实际引用，审清题意细心计算，属于基础题.14. 已知，则_.【答案】1【解析】【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式化简给定的三角函数式后可得的值，得到的值后可得的值.【详解】由题设有，故，所以，所以，故
12、，故答案为：1.【点睛】本题考查诱导公式、两角差的正弦和特殊角的三角函数值，应用诱导公式化简时注意符号及函数名的变化，本题属于基础题.15. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，则_.【答案】【解析】【分析】在已知递推关系中件中令n=1,解得,在n2时根据递推关系，利用,可得，判定数列为公差为1的等差数列，进而利用等差数列的通项公式计算.【详解】在中令n=1,得，解得或（舍去）；在n2时，得到，结合,得到,即,因为数列的各项均为正数，数列为公差为的等差数列，又，,故答案为：.【点睛】本题考查由数列的递推关系判定数列为的等差数列，并利用等差数列的通项公式求特定项，属中档题.16. 在平面直角
13、坐标系中，为坐标原点，过平面上一点作直线的垂线，垂足为，且满足：，则实数满足的关系式是_，若点又在动圆上，则正整数的取值集合是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由可确定点坐标，从而可得点轨迹方程，由在直线上，则直线与圆有公共点，从而可得的取值范围，结合整数可得的值【详解】直线方程为，设，方程是，满足关系式为，圆圆心为，半径为，解得，又，故答案为：；【点睛】本题考查向量数量积坐标运算，考查直线垂直的位置关系，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力运算求解能力四、解答题17. 在中，三个内角，所对的边分别是，且.（1）求的大小；（2）若，且的 面积为，求的值.【答案】（1）
14、；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角函数恒等变换化简，得到cos的值，进而求得；（2）利用三角形的面积公式，得到，进而结合余弦定理求解.【详解】解：（1）由正弦定理得：在中，,，即,即又,又,；（2）,由余弦定理知：,.【点睛】本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，涉及两角和差的三角函数公式，属中档题.关键要熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用两角和差的三角函数公式进行化简求值.18. 在，成等差数列；，成等差数列；中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且_.（1）求数列的通项公式；（2）数列的通项公式，求数列的前项和.【答案】
15、（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）选，选：根据相应条件，利用等差数列的性质列出关系，利用等比数列的通项公式化为关于公比的方程，求得公比，进而得到通项公式；选：取n=1,即可求得公比的值，然后利用通项公式和求和公式检验符合条件,即得以解决.（2）利用分子分母同乘以分母的互为有理化因式，结合指数运算，将的通项公式裂项，然后相加相消求和即可.【详解】解：设等比数列的公比为，（1）选：因为，成等差数列，所以，因为，所以，所以，即.又，解得，所以.选：因为，成等差数列，所以，即,化简得，所以，即，又，解得，所以.选：因为，所以，则，所以.，经验证符合.（2）因为，则.【点睛】本题考查等比数
16、列的通项公式和求和公式，裂项相消求和法，涉及等差中项性质和较强的运算能力，属中档题.19. 一副标准的三角板（如图1）中，ABC为直角，A =60，DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点（1）求证：平面ABC平面EMN；（2）若AC = 4，二面角E - BC- A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）只要证明，即得；（2）以，分别为，如图建立空间直角坐标系.求出线段长，得各点坐标，求出直线方向向量和平面的一个法向量，由向量夹角的余弦得所求线面角的正弦【详
17、解】（1）证明：是的中点，是的中点，是的中点，又，平面，平面 平面且平面，平面平面.（2）由（1）可知：，为二面角的平面角，又二面角为直二面角 以，分别为，建立如图空间直角坐标系，则，由，则，又，则，设为平面的一个法向量，则即令，则面ABE的一个法向量.，所以直线与平面ABE所成的角的正弦值为.【点睛】关键点睛：解题关键在于求出二面角为直二面角，进而建立空间直角坐标系，进行求解，但是有一定的运算量，属于中档题20. 一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗期和期临床试验.期试
18、验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量），临床试验免疫结果对比如下：接种成功接种不成功总计（人）0.5ml/次剂量组288361ml/次剂量组33336总计（人）611172（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以表示这2人中接种成功的人数，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中附表：0.400.250.150.100.0500.0250.0100.0010.7081.3232.
19、0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好，没有；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由古典概率公式可求得两种剂量接种成功的概率，比较大小可得结论，再由二联表求得，进行独立性检验可得结论；（2）先分析出随机变量所有的可能的取值，再由概率的乘法和加法公式求得分布列，从而求得期望.【详解】解：（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为，1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为，1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好，由列联表得没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关.（2）得可能取值为0，1，2，得分布
20、均为012.【点睛】本题考查古典概率公式，独立性检验，离散性随机变量的分布列，以及随机变量的期望，属于中档题.21. 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点（、在同一象限内），称点为点的“伴随点”.已知椭圆：上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）求面积的最大值，并求此时“伴随点”的坐标；（3）已知直线与椭圆交于不同的两点，若椭圆上存在点，使得四边形是平行四边形.求直线与坐标轴围成的三角形面积最小时的的值.【答案】（1），；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）把已知两点坐标代入相应方程得关于的方程组，
21、解之可得；（2）设，直接求出面积表示为的函数后利用基本不等式可得最大值；（3）设，.直线方程与椭圆方程联立，消元后求得，利用平行四边形即得点坐标，代入椭圆方程可得的关系式，求出直线与坐标轴围成三角形的面积，代入刚才的关系以消元后用基本不等式求得最小值，从而得的值.【详解】解：（1）因为椭圆：过点，伴随圆过点，所以解得：，椭圆的方程为；伴随圆的方程为.（2）设，则，；当且仅当，即时，等号成立.此时.（3）由题意可设，.联立整理得，则.由韦达定理得：因为四边形是平行四边形，所以.又点在椭圆上，所以，整理得.在直线：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.令，得，令，得.所以三角形面积为，当且仅当，时
22、，等号成立，此时.且有，故所求的值为.【点睛】本题考查新定义，把新定义转化为圆的方程，转化为点的坐标是解题关键，考查直线与椭圆相交问题，解题中采取“设而不求“的思想方法，即设交点为，.由直线方程与椭圆方程联立消元求得，代入其他条件求解，得出参数之间的关系求最值时涉及到基本不等式的应用，注意应用基本不等式的条件，否则易出错22. 已知函数，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论单调区间；（3）若不等式对任意成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，的增区间为；当时，的增区间为，；减区间为；（3）.【解析】【分析】（1）求切点，求导数值即切线斜率，求得切线方程；（2）求出的定义域为，且
23、，的符号由二次函数的函数值的符号决定，分二次函数有零点和无零点讨论，有零点再分零点是否大于零讨论，得到的单调区间；（3）将，恒成立转化为，再证，构造函数，利用导数证明，从而得到，得到.【详解】解：（1），切线斜率，又切点为，切线的方程为（2）由题的定义域为，且，当即时，在恒成立，即在恒成立，则的增区间为，当且，即时，令，得或令，得的增区间为，；减区间为当且即时，在恒成立，即在恒成立，在上单调递增综上：当时，的增区间为；当时，的增区间为，；减区间为（3）由题，恒成立，令，则当时，即在单调递减；当时，在单调递增；当时，有极小值也是最小值，即当且仅当取等号，【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，利用导数分类讨论求含参函数的单调区间，不等式恒成立求参数的范围问题，还考查了学生分析观察能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.
