1、等差数列及其前n项和 一、选择题1若an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d等于()A2BCD2B由于a72a4a16d2(a13d)a11，则a11又由a3a12d12d0，解得d故选B2在等差数列an中，a3，a9是方程x224x120的两根，则数列an的前11项和等于()A66B132C66D132D因为a3，a9是方程x224x120的两根，所以a3a924又a3a9242a6，所以a612，S11132，故选D3数列an满足2anan1an1(n2)，且a2a4a612，则a3a4a5()A9B10C11D12D由2anan1an1(n2)可知数列an为等差数列，a2a4a6
2、a3a4a512故选D4公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a63a4，且S10a4，则的值为()A15B21C23D25D由题意得a15d3(a13d)，a12d25，故选D5等差数列an中，已知|a6|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A6B7C8D9C|a6|a11|且公差d0，a6a11a6a11a8a90，且a80，a1a2a80a9a10，使Sn取最小值的n的值为8故选C6程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后
3、每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A65B176C183D184D由题意知，8个孩子所得棉花构成公差为17的等差数列，且前8项之和为996设首项为a1，则S88a117996，解得a165，则a8a17d65717184，故选D二、填空题7记Sn为等差数列an的前n项和，若a10，a23a1，则_4设等差数列an的公差为d，由a23a1，即a1d3a1，得2a1d，所以48(2020新高考全国卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_3n22n将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到
4、数列an，则an是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Snn163n22n9已知数列an是等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，给出下列结论：a100；S10最小；S7S12；S200其中一定正确的结论是_(填序号)a15(a12d)8a128d，所以a19d，a10a19d0，故正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最小，故错误；S77a121d42d，S1212a166d42d，所以S7S12，故正确；S2020a1190d10d，不一定为0，故错误所以正确的是三、解答题10(2021新高考卷)已知数列an满足a11，an1(1)记bna2n，写出b1，b2，并求数
5、列bn的通项公式；(2)求an的前20项和解(1)因为bna2n，且a11，an1所以b1a2a112，b2a4a31a2215因为bna2n，所以bn1a2n2a2n11a2n11a2n21a2n3，所以bn1bna2n3a2n3，所以数列bn是以2为首项，3为公差的等差数列，bn23(n1)3n1，nN*(2)因为an1所以kN*时，a2ka2k11a2k11，即a2ka2k11，a2k1a2k2，a2k2a2k11a2k11，即a2k2a2k11，所以得a2k1a2k13，即a2k1a2k13，所以数列an的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；得a2k2a2k3，即a2k2a2k3，
6、又a22，所以数列an的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列所以数列an的前20项和S20(a1a3a5a19)(a2a4a6a20)10320330011已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk110(1)求a及k的值；(2)已知数列bn满足bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，又b1
7、2，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn 1(2021大连模拟)若an是等差数列，首项a10，a2 019a2 0200，a2 019a2 0200，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是()A2 019B2 020C4 039D4 038Dan是等差数列，首项a10，a2 019a2 0200，a2 019a2 0200，所以an是递减的等差数列，且a2 0190，a2 0200，因为a2 019a2 020a1a4 0380，a1a4 0392a2 0200，所以S4 0380，S4 0390所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4 038故选D2已知数列an满足a1，an
8、1(nN*)，则an_，数列an中最大项的值为_由题意知an0，由an1得8，整理得8，即数列是公差为8的等差数列，故(n1)88n17，所以an当n1，2时， an0；当n3时，an0，则数列an在n3时是递减数列，故an中最大项的值为a33(2021全国卷乙)记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式解(1)证明：因为bn是数列Sn的前n项积，所以n2时，Sn，代入2可得，2，整理可得2bn112bn，即bnbn1(n2)又2，所以b1，故bn是以为首项，为公差的等差数列(2)由(1)可知，bn，则2，所以Sn，当n1
9、时，a1S1，当n2时，anSnSn1故an1(2021青岛模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a11，anan12n1(nN*)，则a20_，S21_20231anan12n1，an1an22n3，得an2an2数列an的奇数项和偶数项均成公差为2的等差数列又a11，且a1a23，a22，a21110221，a2029220，S21(a1a3a21)(a2a4a20)2312(2021海淀区二模)已知an是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为Sn又_，且S540，是否存在大于1的正整数k，使得SkS1？若存在，求k的值；若不存在，说明理由从a14，d2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答解选a14an是等差数列，a14，S540，S52010d40，d2Skk23k，S1a14，且SkS1，k23k4，即(k1)(k4)0，解得k1或k4(舍去)不存在k1的正整数，使得SkS1选d2an是等差数列，d2，S540，a112Skk213k，S1a112SkS1，k213k12，即(k12)(k1)0，解得k1或k12，k121，存在k1的正整数，使得SkS1
