1、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1直线axy2a0(aR)与圆x2y29的位置关系是()A相离 B相交C相切 D不确定B直线axy2a0(aR)，即a(x2)y0，由 得所以直线恒过定点(2,0)，因为22029，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交，故选B2已知圆O1：(x1)2(y2)29，圆O2：(x2)2(y1)216，则这两个圆的位置关系为()A外离 B外切 C相交 D内含C根据题意，圆O1：(x1)2(y2)29，圆心O1(1，2)，半径R3，圆O2：(x2)2(y1)216，圆心O2(2，1)，半径r4，圆心距|O1O2|，有4343，则两圆相交；故选C3(2020全国
2、卷)已知圆x2y26x0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A1 B2 C3 D4B将圆的方程x2y26x0化为标准方程(x3)2y29，设圆心为C，则C(3,0)，半径r3设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l，因为(13)2220)，所以(2a)2(1a)2a2，即a26a50，解得a1或a5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2xy30的距离为或，故选B5(2021重庆南开中学高三模拟)若直线l：mxym10与圆x22xy280相交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为()A2 B4 C2 D6B由圆x22xy280得(x1)2y29，
3、所以圆心为(1,0)，半径为r3，直线l：mxym10过定点(1,1) ，圆心到直线l的最大距离为 ，所以弦长|AB|的最小值为24 6过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()Ay ByCy DyB圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y二、填空题7(2021天津高考)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2(y1)21相切于点B，则|AB| 设直线AB的方程为yxb，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2(y1)21相切，且圆
4、心为C(0,1)，半径为1，则1，解得b1或b3，所以|AC|2，因为|BC|1，故|AB|8(2019浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m ，r 2如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m2圆心为(0，2)，则半径r9(2021安庆模拟)已知圆C：x2y21，直线l：axy40若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围是 (，)直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则|MC|2，只需|MC|min2，即圆C：x2y21的圆心到直线l：axy40的距离d2，即d2，解得a或
5、a三、解答题10已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0(1)当a为何值时，直线与圆C相切？(2)当直线与圆C相交于A，B两点，且|AB|2时，求直线的方程解(1)圆C的标准方程为x2(y4)24，圆心C的坐标为(0,4)，半径长为2，当直线l与圆C相切时，则2，解得a(2)由题意知，圆心C到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式可得d，整理得a28a70，解得a1或7因此，直线l的方程为xy20或7xy14011圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程
6、解(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24，所以圆心O1(0，1)，半径r12设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|r1r2又|O1O2|2，所以r2|O1O2|r122所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，又圆O1的方程为x2(y1)24，相减得AB所在的直线方程为4x4yr80设线段AB的中点为H，因为r12，所以|O1H|又|O1H|，所以，解得r4或r20所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)2201一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或
7、 B或C或 D或 D圆(x3)2(y2)21的圆心为(3,2)，半径r1作出点(2，3)关于y轴的对称点(2，3)由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，3)设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y(3)k(x2)，即kxy2k30由反射光线与圆相切可得1，即|5k5|，整理得12k225k120，即(3k4)(4k3)0，解得k或k故选D2已知直线yax与圆C：x2y26y60相交于A，B两点，C为圆心若ABC为等边三角形，则a的值为 根据题意，圆C：x2y26y60即x2(y3)23，其圆心为(0,3)，半径r，直线yax与圆C：x2y26y60相交于A，B两点，若ABC
8、为等边三角形，则圆心C到直线yax的距离d，则有，解得a3已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)由x2y28y0得x2(y4)216，圆C的圆心坐标为(0,4)，半径为4设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题意可得0，即x(2x)(y4)(2y)0整理得(x1)2(y3)22所以点M的轨迹方程为(x1)2(y3)22(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆，由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又
9、P在圆N上，从而ONPM又kON3，故直线l的斜率为，所以直线PM的方程为y2(x2)，即x3y80则O到直线l的距离为又N到l的距离为，|PM|2SPOM1(2021新高考卷改编)已知点P在圆(x5)2(y5)216上，点A(4,0)，B(0,2)，则下列说法不正确的是()A点P到直线AB的距离小于10B点P到直线AB的距离大于2C当PBA最小时，|PB|3D当PBA最大时，|PB|3B圆(x5)2(y5)216的圆心为M(5,5)，半径为4，直线AB的方程为1，即x2y40，圆心M到直线AB的距离为4，所以，点P到直线AB的距离的最小值为42，最大值为410，A选项正确，B选项错误；如图所
10、示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB，|BM|，|MP|4，由勾股定理可得|BP|3，C，D选项正确2在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线xy40相切(1)求圆O的方程；(2)直线l：ykx3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由解(1)设圆O的半径长为r，因为直线xy40与圆O相切，所以 r2 所以圆O的方程为 x2y24(2)假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：ykx3的距离d|OM|1所以1，解得k28，即k2，经验证满足条件所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为2
