1、考点测试13函数模型及其应用一、基础小题1.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲比乙先到达终点答案D解析由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快2.如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()答案D解析根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D.3某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每
2、件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A7B8C9D10答案C解析由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y6k2108k378(1k10，kN)，配方可得y6(k9)2864，所以当k9时，获得利润最大选C.42003年至2015年某市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 ()Af(x)ax2bxcBf(x)aexbCf(x)eaxbDf(x)aln xb答案D解析由题可得，这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大
3、，f(x)逐渐增大，图象逐渐上升对于A，f(x)ax2bxc，取a0，0，b0，可得满足条件的函数；对于C，取a0，b0，可得满足条件的函数；对于D，a0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征，当ag(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)答案B解析画出三个函数的图象，如下图所示，当x(4，)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)f(x)h(x)6.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交
4、(其他费用忽略不计)如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A40万元B60万元C120万元D140万元答案C解析甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120620(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20240(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(12040)440(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40280(万元)，共获利4080120(万元)，故选C.7在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()Ay2x2By(
5、x21)Cylog3xDy2x2答案B解析把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y(x21)8某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量的增长速度保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是()答案A解析因为前3年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后3年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化故选A.9李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲5x2900x16000，L乙300x2000(其中x
6、为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()A11000元B22000元C33000元D40000元答案C解析设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110x)辆，故利润L5x2900x16000300(110x)20005x2600x150005(x60)233000，当x60时，有最大利润33000元，故选C.10已知某池塘中浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系式为yat，其图象如图所示，现有以下叙述：这个指数函数的底数是2；第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；浮萍每个月增加的面积都相等；若浮
7、萍蔓延到2 m2、3m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1t2t3.其中正确的是()ABCD答案D解析因为点(1,2)在图象上，所以这个指数函数的底数是2，即正确；因为函数y2t在R上单调递增，且当t5时，y32，所以正确；当y4时，t2，经过1.5个月后y23.5200，则lg lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n，又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年故选B.13汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了
8、甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误
9、，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确14.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5B6C8D10答案C解析因为函数y3sink的最小值为2，所以3k2，得k5，故这段时间水深的最大值为358(m)，选C.15某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()ABCD1答案D解析设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1p)(1q)设这两年生产总值的
10、年平均增长率为x，则a(1x)2a(1p)(1q)，由于连续两年持续增加，所以x0，因此x1，故选D.16要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设底面长为x m，宽为 m，造价为y元，y4202108020x802160，当且仅当20x，即x2时，等号成立，所以最低总造价为160元17某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关
11、，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时答案(1)1900(2)100解析(1)当l6.05时，F，F1900，当且仅当v，即v11时取“”最大车流量F为1900辆/小时(2)当l5时，F，F2000，当且仅当v，即v10时取“”最大车流量比(1)中的最大车流量增加20001900100辆/小时三、模拟小题18某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：x(月份)12345Q(x)(台)691086根据表中的数据，你认为能较好地描述月
12、销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是()AQ(x)axb(a0)BQ(x)a|x4|b(a0)CQ(x)a(x3)2b(a0)DQ(x)abx(a0，b0且b1)答案C解析观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.19某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A甲食堂的营业额较高B乙食
13、堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相同D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4，因为yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高20某种电子元件的成本前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的成本与原来的成本比较，变化情况是()A减少7.84%B增加7.84%C减少9.5%D不增不减答案A解析设该元件原来的成本为a，则有a(120%)2
14、(120%)20.9216a，100%7.84%.故选A.21某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系为PP0ekt(k，P0均为正的常数)若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤_才可以排放()A hB hC5 hD10 h答案C解析设原污染物数量为a，则P0a.由题意有10%aae5k，所以5kln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%aaetk，所以tk2ln 10，t10.因此至少还需过滤1055(h)才可以排放22某地西红柿从2月
15、1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_；(2)最低种植成本是_元/100 kg.答案12080解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t60和t180时种植成本相等，再结合题中给出的四个函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Qat2btc描述根据题意得
16、Qa(t120)2m，将表中数据代入可得则所以Q0.01(t120)280，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.一、高考大题1.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(
17、2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20), 则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时， g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.
18、故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米二、模拟大题2.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，并求出该函数的定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y)米，EQ(x4)米因为EPQ EDF，所以，即.所以yx10.易知定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)xyx(x10)250，因为当x时，S(x)单调递增，所以当x8时，矩形BNPM的面积取得最大值，所以矩形B
19、NPM的面积的最大值为48平方米3某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均为常数，且q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该
20、海鲜将在哪几个月内价格下跌解(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)x(xq)2p.(2)对于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)(3)因为f(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)0，得1x0，故y1为增函数，当x200时，y1取得最大值1980200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1980200a)万美元y20.05(x100)2460(1x120，xN*)，当x100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1980200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1980200a)4601520200a，且6a8，当1520200a0，即6a7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1520200a0，即a7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1520200a0，即7.6a8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润
