1、第三章 导数及其应用 第一节导数的概念与计算1导数的概念(1)平均变化率一般地，函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为fx2fx1x2x1.(2)函数 yf(x)在 xx0 处的导数定义：设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，此值yxfx0 xfx0 x无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x
2、0)(xx0)(3)函数 f(x)的导函数若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)1xln a，(ln x)1x.3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)小题体验1(教材习题改编)一次函数 f(x)kxb 在区间m，n上的平均变化率
3、为_解析：由题意得函数 f(x)kxb 在区间m，n上的平均变化率为fnfmnmk.答案：k2(教材习题改编)如图，函数 yf(x)的图象在点 P 处的切线方程是 yx5，则 f(3)_，f(3)_.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为1.答案：2 13设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(x)xln x，则 f(1)_.解析：由 f(x)xln x(x0)，知 f(x)11x，所以 f(1)2.答案：24(2015天津高考)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_解析：f(x)aln xx1x a(1l
4、n x)由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.答案：31利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(e)ln x，则 f(e)_.解析：对关系式 f(x)2xf(e)ln x 两边求导，得 f(x)2f(e)1x，令 xe，得 f(e)2f(e)1e，所以 f(e)1e.答案：1e2已知 f(x)x23xf
5、(2)，则 f(2)_.解析：因为 f(x)2x3f(2)，所以 f(2)43f(2)，所以 f(2)2，所以 f(x)x26x，所以 f(2)22628.答案：83已知定义在 R 上的函数 f(x)exx2xsin x，则曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_解析：令 x0，得 f(0)1.对 f(x)求导，得 f(x)ex2x1cos x，所以 f(0)1，故曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 yx1.答案：yx1考点一 导数的运算基础送分型考点自主练透题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x1x；(3)ycos xex；(4)y11 x1
6、1 x.解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)yln x1x(ln x)1x 1x 1x2.(3)ycos xexcos xexcos xexex2sin xcos xex.(4)y11 x11 x 21x，y21x 21x1x221x2.谨记通法求函数导数的 3 种原则考点二 导数的几何意义常考常新型考点多角探明命题分析导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值题点全练角度一：求切线方程1(2016南通调研)已知
7、 f(x)x32x2x6，则 f(x)在点 P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为 y28(x1)，即 8xy100，令 x0，得 y10，令 y0，得 x54，所求面积 S125410254.答案：254角度二：求切点坐标2若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_解析：由题意得 yln xx1x1ln x，直线 2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e，e)答案：(e，e)角度三：求
8、参数的值3(2016南京外国语学校检测)已知函数 f(x)x4ax2bx，且 f(0)13，f(1)27，则 ab_.解析：f(x)4x32axb，由f013，f127 b1342ab27，a5，b13，ab18.答案：18方法归纳导数几何意义的应用的 2 个注意点(1)当曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解一抓基础，多
9、练小题做到眼疾手快1函数 f(x)(x2a)(xa)2 的导数为_解析：f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)答案：3(x2a2)2已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)_.解析：由 f(x)2xf(1)ln x，得 f(x)2f(1)1x.f(1)2f(1)1，则 f(1)1.答案：13(2016徐州一中检测)曲线 yf(x)x(x1)(x2)(x6)在原点处的切线方程为_解析：y(x1)(x2)(x6)x(x1)(x2)(x6)，所以 f(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0720.故切线方程为 y7
10、20 x.答案：y720 x4(2015全国卷)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得 a1.答案：15已知曲线 yx3x2 在点 P0 处的切线 l 与直线 4xy10 平行，且点 P0 在第三象限，则点 P0 的坐标为_解析：设 P0(x0，y0)由 yx3x2，得 y3x21.由已知，得 3x2014，解得 x01.当 x01 时，y00；当 x01 时，y04.又点 P0 在第三象限，切点 P0
11、的坐标为(1，4)答案：(1，4)二保高考，全练题型做到高考达标1某物体做直线运动，其运动规律是 st23t(t 的单位：s，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度为_ m/s.解析：s2t3t2，在第 4 s 末的瞬时速度 vs|t48 31612516 m/s.答案：125162(2015苏州二模)已知函数 f(x)(x22)(ax2b)，且 f(1)2，则 f(1)_.解析：f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x 为奇函数，所以 f(1)f(1)2.答案：23已知 f(x)x(2 015ln x)，若 f(x0)2 016，则 x0
12、_.解析：f(x)2 015ln xx1x2 016ln x，故由 f(x0)2 016 得 2 016ln x02 016，则 ln x00，解得 x01.答案：14(2016金陵中学模拟)设点 P 是曲线 yx3 3x23上的任意一点，P 点处切线倾斜角 的取值范围为_解析：因为 y3x2 3 3，故切线斜率 k 3，所以切线倾斜角 的取值范围是0，2 23，.答案：0，2 23，5已知 f(x)ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m 的值为_解析：f(x)1x，直线 l 的斜率为 kf
13、(1)1，又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0)在 x1 处的切线为 l，求 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值解：因为 f(1)1a1，所以切点为1，1a1.由已知，得 f(x)2xa，切线斜率 kf(1)2a，所以切线 l 的方程为 y1a1 2a(x1)，即 2xaya10.令 y0，得 xa12；令 x0，得 ya1a.所以 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积 S12a12a1a14a1a 12142a1a121，当且仅当 a1a，即 a1 时
14、取等号，所以 Smin1.故 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线 C：f(x)x3axa，若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为_解析：设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率 ky|xt3t2a，所以切线方程为 y(t3ata)(3t2a)(xt).将点 A(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得 t0 或 t32.分别将 t0 和 t32代入式，得 ka 和k274 a，由题意得它们互为相反数，故 a278.答案：2782(2016无锡一
15、中检测)已知函数 f(x)f 4 cos xsin x，则 f 4 的值为_解析：f(x)f 4 cos xsin x，f(x)f 4 sin xcos x，f 4 f 4 22 22，f 4 21.故 f 4(21)22 22 1.答案：13(2016苏北四市调研)设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任意一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解：(1)f(x)a bx2.点(2，f(2)在切线 7x4y120 上，f(2)2712412.又曲
16、线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120，f274，f212ab474，2ab212a1，b3.f(x)的解析式为 f(x)x3x.(2)设x0，x03x0 为曲线 yf(x)上任意一点，则切线的斜率 k1 3x20，切线方程为 yx0 3x0 1 3x20(xx0)，令 x0，得 y 6x0.由yx03x0 13x20 xx0，yx，得x2x0，y2x0.曲线 yf(x)上任意一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积 S12|2x0|6x0 6，为定值第二节导数的应用1函数的单调性在(a，b)内可导函数 f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不
17、恒等于 0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf
18、(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值小题体验1(教材习题改编)函数 f(x)x2ex 的单调增区间是_解析：函数 f(x)的定义域为 R，f(x)2xexx2exex(2xx2)，令 f(x)0，得 x0，所以函数 f(x)的单调增区间为(，2)和(0，)答案：(，2)，(0，)2(教材习题改编)函数
19、f(x)13x332x24x13取得极大值时 x 的值是_解析：f(x)x23x4，令 f(x)0，得 x11，x24，经检验知 x4 时，函数 y 取得极大值答案：43(教材习题改编)函数 f(x)32 xsin x 在区间0,2上的最大值为_解析：f(x)32 cos x，令 f(x)0，x0,2，得 x56 或 x76，又 f(0)0，f56 5 312 12.f76 7 312 12，f(2)3.所以函数 f(x)在区间0,2上的最大值为 3.答案：34已知 f(x)x3ax 在1，)上是增函数，则 a 的最大值是_答案：31求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观
20、且有条理的解决2求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f(x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点小题纠偏1已知函数 f(x)x3ax2bxa27a 在 x1 处取得极大值 10，则ab的值为_解析：由题意，知 f(x)3x22axb.由函数 f(x)在 x1 处取得极大值 10，知f10，f110，即32ab0，1aba27a10，解 得a2，b1或a6，b9，经 检 验a6，b9满足题意，故ab23.答案：232若函数 f(x)2x2ln x 在其定义域的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数 k 的取
21、值范围是_解析：因为 f(x)4x1x(x0)，所以可求得 f(x)的单调递增区间为12，单调递减区间为0，12.又函数 f(x)2x2ln x 在其定义域的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则0k112，解得 1k0.证明 f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增证明：设函数 f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x)x3a32 x2ax(x0)，f1(x)3x2(a5)，由于 a2,0，从而当1x0 时，f1(x)3x2(a5)3a50，所以函数 f1(x)在区间(1,0内单调递减f2(x)3x2(a3)xa(3xa)(x1)，由于 a2,0，所以当 0 x1
22、时，f2(x)1 时，f2(x)0，即函数 f2(x)在区间0,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增综合及 f1(0)f2(0)，可知函数 f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增由题悟法导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的 3 步骤(1)一求求 f(x)；(2)二定确认 f(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论作出结论：f(x)0 时为增函数；f(x)0 时为减函数提醒 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论即时应用已知函数 f(x)ln xx12x.(1)求证：f(x)在区间(0，)上单调递增；(2)若 fx(3x2
23、)13，求实数 x 的取值范围解：(1)证明：由已知得 f(x)的定义域为(0，)f(x)ln xx12x，f(x)1x12x2x12x2 4x23x1x12x2.x0，4x23x10，x(12x)20.当 x0 时，f(x)0.f(x)在(0，)上单调递增(2)f(x)ln xx12x，f(1)ln 1112113.由 fx(3x2)13得 fx(3x2)f(1)由(1)得x3x20，x3x21，解得13x0 或23x1.实数 x 的取值范围为13，0 23，1.考点二 求函数的单调区间重点保分型考点师生共研典例引领已知函数 f(x)mx3nx2(m，nR，m0)，函数 yf(x)的图象在点
24、(2，f(2)处的切线与 x 轴平行(1)用关于 m 的代数式表示 n；(2)求函数 f(x)的单调增区间解：(1)由已知条件得 f(x)3mx22nx，又 f(2)0，所以 3mn0，故 n3m.(2)因为 n3m，所以 f(x)mx33mx2，所以 f(x)3mx26mx.令 f(x)0，即 3mx26mx0，当 m0 时，解得 x2，则函数 f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当 m0 时，解得 0 x0 时，函数 f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当 mg(3)143，因此2a6，解得 a3.综上所述，实数 a 的取值范围是(，3 5，)答案：(，3 5，)3函数 f(x
25、)1xsin x 在(0,2)上的单调情况是_解析：在(0,2)上有 f(x)1cos x0，所以 f(x)在(0,2)上单调递增答案：单调递增4(2016启东模拟)已知 a1，f(x)x33|xa|，若函数 f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为 M，m，则 Mm 的值为_解析：当 x1,1时，f(x)x33(ax)x33x3a(a1)，f(x)3(x1)(x1)当1x1 时，f(x)0，所以原函数 f(x)在区间1,1上单调递减，所以 Mf(1)3a2，mf(1)3a2，所以 Mm4.答案：45(2016苏州测试)已知函数 f(x)12x22axln x，若 f(x)在区间13，2 上
26、是增函数，则实数 a 的取值范围为_解析：f(x)x2a1x0 在13，2 上恒成立，即 2ax1x在13，2 上恒成立，x1x max83，2a83，即 a43.答案：43，二保高考，全练题型做到高考达标1函数 f(x)x315x233x6 的单调减区间为_解析：由 f(x)x315x233x6 得 f(x)3x230 x33，令 f(x)0，即 3(x11)(x1)0，解得1x11，所以函数 f(x)的单调减区间为(1,11)答案：(1,11)2若幂函数 f(x)的图象过点22，12，则函数 g(x)exf(x)的单调递减区间为_解析：设幂函数 f(x)x，因为图象过点22，12，所以12
27、22，2，所以 f(x)x2，故 g(x)exx2，令 g(x)exx22exxex(x22x)0，得2x0，故函数 g(x)的单调递减区间为(2,0)答案：(2,0)3(2016南通、扬州、淮安、连云港调研)设 f(x)4x3mx2(m3)xn(m，nR)是 R 上的单调增函数，则实数 m 的值为_解析：因为 f(x)12x22mxm3，又函数 f(x)是 R 上的单调增函数，所以 12x22mxm30 在 R 上恒成立，所以(2m)2412(m3)0，整理得 m212m360，即(m6)20.又因为(m6)20，所以(m6)20，所以 m6.答案：64已知函数 f(x)x 1ax在(，1)
28、上单调递增，则实数 a 的取值范围是_解析：函数 f(x)x 1ax的导数为 f(x)1 1ax2，由于 f(x)在(，1)上单调递增，则 f(x)0 在(，1)上恒成立，即1ax2 在(，1)上恒成立由于当 x1 时，x21，则有1a1，解得 a1 或 a0.答案：(，0)1，)5(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数 f(x)2x33x2m，0 x1，mx5，x1.若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围为_解析：由 f(x)2x33x2m，得 f(x)6x26x，所以 f(x)在0,1上单调递增，即 f(x)2x33x2m 与 x 轴至多有一
29、个交点，要使函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点，即m50，m0，从而可得 m(5,0)答案：(5,0)6若函数 f(x)ax33x 在(1,1)上为单调递减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)3ax23，f(x)在(1,1)上为单调递减函数，f(x)0 在(1,1)上恒成立，即 3ax230 在(1,1)上恒成立当 x0 时，aR；当 x0 时，a 1x2，x(1,0)(0,1)，a1.综上，实数 a 的取值范围为(，1答案：(，17(2016盐城中学模拟)已知函数 f(x)(xR)满足 f(1)1，且 f(x)的导数 f(x)12，则不等式 f(x2)x22 12
30、的解集为_解析：设 F(x)f(x)12x，F(x)f(x)12，f(x)12，F(x)f(x)120，即函数 F(x)在 R 上单调递减f(x2)x22 12，f(x2)x22 f(1)12，F(x2)1，即 x(，1)(1，)答案：(，1)(1，)8若函数 f(x)13x312x22ax 在23，上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_解析：对 f(x)求导，得 f(x)x2x2ax122142a.当 x23，时，f(x)的最大值为 f 23 292a.令292a0，解得 a19.所以 a 的取值范围是19，.答案：19，9(2016镇江五校联考)已知函数 f(x)ln xkex(k 为
31、常数，e 是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间解：(1)由题意得 f(x)1xln xkex，又 f(1)1ke 0，故 k1.(2)由(1)知，f(x)1xln x1ex.设 h(x)1xln x1(x0)，则 h(x)1x21x0，即 h(x)在(0，)上是减函数由 h(1)0 知，当 0 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0；当 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)10(2016徐州调研)已知函数 f(x)ln x，g(x)12a
32、xb.(1)若 f(x)与 g(x)在 x1 处相切，求 g(x)的表达式；(2)若(x)mx1x1 f(x)在1，)上是减函数，求实数 m 的取值范围解：(1)由已知得 f(x)1x，f(1)112a，a2.又g(1)012ab，b1，g(x)x1.(2)(x)mx1x1 f(x)mx1x1 ln x 在1，)上是减函数(x)x22m2x1xx120 在1，)上恒成立即 x2(2m2)x10 在1，)上恒成立，则 2m2x1x，x1，)，x1x2，)，2m22，m2.故实数 m 的取值范围是(，2三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知 a0，函数 f(x)(x22ax)ex，若 f(x)在1,
33、1上是单调减函数，则 a 的取值范围是_解析：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意知当 x1,1时，f(x)0 恒成立，即 x2(22a)x2a0 恒成立令 g(x)x2(22a)x2a，则有g10，g10，即1222a12a0，1222a2a0，解得 a34.答案：34，2(2016泰州模拟)若函数 f(x)x2|xa|在区间0,2上单调递增，则实数 a 的取值范围是_解析：当 a0 时，f(x)x3ax2，f(x)3x22ax0 在0，)上恒成立，所以 f(x)在0，)上单调递增，则也在0,2上单调递增，成立；当 a0 时，f(x)ax2x3，0 xa
34、，x3ax2，xa.当 0 xa 时，f(x)2ax3x2，令 f(x)0，则 x0 或 x23a，则 f(x)在0，23a 上单调递增，在23a，a 上单调递减；当 xa 时，f(x)3x22axx(3x2a)0，所以 f(x)在(a，)上单调递增，所以当 a0 时，f(x)在0，23a 上单调递增，在23a，a 上单调递减，在(a，)上单调递增要使函数在区间0,2上单调递增，则必有23a2，解得 a3.综上，实数 a 的取值范围是(，03，)答案：(，03，)3已知函数 f(x)aln xax3(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切
35、线的倾斜角为 45，对于任意的 t1,2，函数 g(x)x3x2fxm2 在区间(t,3)上总不是单调函数，求 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)a1xx.当 a0 时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当 a0 时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当 a0 时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得 f(2)a21，即 a2，f(x)2ln x2x3，f(x)2x2x.g(x)x3m22 x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即 g(x)0 在区间(t,3)上有变号零点由于 g(0
36、)2，gt0，g30.当 g(t)0，即 3t2(m4)t20对任意 t1,2恒成立，由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0，即 m5 且 m9，即 m9；由 g(3)0，即 m373.所以373 m9.即实数 m 的取值范围是373，9.第二课时 导数与函数的极值、最值考点一 运用导数解决函数的极值问题常考常新型考点多角探明命题分析函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题常见的命题角度有：(1)已知函数求极值；(2)已知极值求参数；(3)由图判断极值题点全练角度一：已知函数求极值1已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，
37、求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值解：由题意知函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.(1)当 a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因为 f(1)1，f(1)1，所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20.(2)由 f(x)1axxax，x0 知：当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，a)时，f(x)0；当 x(a，)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，
38、且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值角度二：已知极值求参数2(2016黑龙江哈三中期末)已知 x2 是函数 f(x)x33ax2 的极小值点，那么函数 f(x)的极大值为_解析：x2 是函数 f(x)x33ax2 的极小值点，即 x2 是 f(x)3x23a0 的根，将 x2 代入得 a4，所以函数解析式为 f(x)x312x2，则由 3x2120，得 x2，故函数在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当 x2 时函数 f(x)取得极大值 f(2)
39、18.答案：183若函数 f(x)13ax3ax2(2a3)x1 在 R 上存在极值，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知，f(x)ax22ax2a3，因为函数 f(x)13ax3ax2(2a3)x1 在 R 上存在极值，所以 f(x)0 有两个不等实根，其判别式 4a24a(2a3)0，所以 0a3，故实数 a 的取值范围为(0,3)答案：(0,3)角度三：由图判断极值4已知函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)有_个极大值点，_个极小值点解析：由导数与函数极值的关系，知当 f(x0)0 时，若在 x0 的左侧 f(x)0，右侧f(x)0，则 f(
40、x)在 xx0 处取得极大值；若在 x0 的左侧 f(x)0，则 f(x)在 xx0 处取得极小值设函数 f(x)的图象与 x 轴的交点从左到右的横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f(x)在 xx1，xx3 处取得极大值，在 xx2，xx4 处取得极小值答案：2 2方法归纳利用导数研究函数极值的一般流程考点二 运用导数解决函数的最值问题重点保分型考点师生共研典例引领已知函数 f(x)xaex(a0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求函数 f(x)在1,2上的最大值解：(1)f(x)xaex(a0)，则 f(x)1aex.令1aex0，则 xln 1a.当 x 变化时，f(x)，
41、f(x)的变化情况如下表：x，ln1aln1aln 1a，f(x)0f(x)极大值 故函数 f(x)的单调递增区间为，ln1a；单调递减区间为ln1a，.(2)当 ln1a2，即 0a1e2时，f(x)maxf(2)2ae2；当 1ln 1a2，即1e2a1e时，f(x)maxfln1a 1aln1a1a；当 ln1a1，即 a1e时，f(x)maxf(1)1ae.由题悟法求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值 3 步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；(3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的
42、一个为最小值即时应用设函数 f(x)aln xbx2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值解：(1)f(x)ax2bx，函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，f1a2b0，f1b12，解得a1，b12.(2)由(1)得 f(x)ln x12x2，则 f(x)1xx1x2x，当1exe 时，令 f(x)0 得1ex1；令 f(x)0，得 1xe，f(x)在1e，1 上单调递增，在1，e 上单调递减，f(x)maxf(1)12.考点三 函数极值和最值的综合问题重点保分型考点师生共研典例引领已知函数
43、f(x)ax2x3ln x，其中 a 为常数(1)当函数 f(x)的图象在点23，f 23处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在32，3 上的最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围解：(1)f(x)a 2x23x，f 23 a1，故 f(x)x2x3ln x，则 f(x)x1x2x2.由 f(x)0 得 x1 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3232，22(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2 从而在32，3 上，f(x)有最小值，且最小值为 f(2)13ln 2.(2)f(x)a 2x23xax23x2
44、x2(x0)，由题设可得方程 ax23x20 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1，x2，并令 h(x)ax23x2，则98a0，x1x23a0，x1x22a0或98a0，32a 0，h00，解得 0a98.故所求 a 的取值范围为0，98.由题悟法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值即时应用已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为 l：3xy10，若 x23时，yf(x)有极值(1)求 a，b，c
45、 的值；(2)求 yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0，当 x23时，yf(x)有极值，则 f 23 0，可得 4a3b40，由，解得 a2，b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)4.所以 1abc4，得 c5.(2)由(1)可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令 f(x)0，解得 x12，x223.当 x 变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)22，232323，11f(x)00f(x)8 13 9527 4所以 yf(
46、x)在3,1上的最大值为 13，最小值为9527.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数 f(x)ln xx 在(0，e上的最大值为_解析：f(x)1x11xx(x0)，令 f(x)0，得 0 x1，令 f(x)1，f(x)在(0,1上是增函数，在(1，e上是减函数当 x1 时，f(x)在(0，e上取得最大值 f(1)1.答案：12函数 f(x)12ex(sin xcos x)x0，2的值域为_解析：x0，2，f(x)excos x0，f(0)f(x)f 2，即12f(x)12e2.答案：12，12e23当函数 yx2x 取极小值时，x_.解析：令 y2xx2xln 20，x 1ln 2.答案：
47、1ln 24若函数 f(x)x32cx2x 有极值点，则实数 c 的取值范围为_解析：若函数 f(x)x32cx2x 有极值点，则 f(x)3x24cx10 有根，故(4c)2120，从而 c 32 或 c 32.故实数 c 的取值范围为，3232，.答案：，32 32，5已知函数 f(x)2f(1)ln xx，则 f(x)的极大值为_解析：因为 f(x)2f1x1，令 x1，得 f(1)1.所以 f(x)2ln xx，f(x)2x1.当 0 x0；当 x2，f(x)0，即 f(x)在(，2)上单调递增；当 x(2,1)时，f(x)0，即 f(x)在(1，)上单调递增从而函数 f(x)在 x2
48、 处取得极大值 f(2)21，在 x1 处取得极小值 f(1)6.10已知函数 f(x)x1aex(aR，e 为自然对数的底数)(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)由 f(x)x1aex，得 f(x)1aex.又曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，得 f(1)0，即 1ae0，解得 ae.(2)f(x)1aex，当 a0 时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f(x)0，得 exa，即 xln ax(，ln a)时，f(x)0；x(ln a，)
49、时，f(x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知 f(x)x36x29xabc，abc，且 f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_解析：f(x)3x212x93(x1)(x3)，由 f(x)0，得 1x3，由 f(x)0
50、，得 x1 或 x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又 abc，f(a)f(b)f(c)0，f(x)极大值f(1)4abc0，f(x)极小值f(3)abc0.0abc4.a，b，c 均大于零，或者 a0，b0，c0.又 x1，x3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0.f(0)f(1)0，f(0)f(3)0.正确结论的序号是.答案：2已知函数 f(x)mx3nx2 的图象在点(1,2)处的切线与直线 3xy0 平行，若 f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数 t 的取值范围是_解析：因为 f(x)3mx22nx，由题意得f13
51、m2n3，f1mn2，解得m1，n3，所以 f(x)3x26x.又 f(x)在区间t，t1上单调递减，所以 f(x)3x26x0 在区间t，t1上恒成立即ft3t26t0，ft13t126t10，解得 t2，1答案：2，13(2016苏北四市调研)已知函数 f(x)ax2bxln x(a0，bR)(1)设 a1，b1，求 f(x)的单调区间；(2)若对任意的 x0，f(x)f(1)，试比较 ln a 与2b 的大小解：(1)由 f(x)ax2bxln x，x(0，)，得 f(x)2ax2bx1x.a1，b1，f(x)2x2x1x2x1x1x(x0)令 f(x)0，得 x1.当 0 x1 时，f
52、(x)0，f(x)单调递减；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调递减区间是(0,1)，f(x)的单调递增区间是(1，)(2)由题意可知，f(x)在 x1 处取得最小值，即 x1 是 f(x)的极值点，f(1)0，2ab1，即 b12a.令 g(x)24xln x(x0)，则 g(x)14xx.令 g(x)0，得 x14.当 0 x14时，g(x)0，g(x)单调递增，当 x14时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g 14 1ln 141ln 40，g(a)0，即 24aln a2bln a0，故 ln a2b.第三课时 导数与函数的综合问题考点一 利用导数研究生活中的
53、优化问题重点保分型考点师生共研典例引领(2016常州模拟)如图，某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30方向的两条街道某公园 P 位于商业中心北偏东 角02，tan 3 3，且与商业中心 O 的距离为 21 km 处现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A，B 两处(1)当 AB 沿正北方向时，试求商业中心到 A，B 两处的距离和；(2)若要使商业中心 O 到 A，B 两处的距离和最短，请确定 A，B 的最佳位置解：(1)以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系设 P(m，n)因为 00，xB0，得 k 3或 k0.y 8 3k 32 32k2 33
54、k 35k 32k2k 32.令 y0，得 k 33.当 k 33 时，y0，y 在，33是减函数；当 33 k0，y 在 33，0是增函数所以当 k 33 时，y 有极小值，且极小值为 9 km；当 k 3时，y13.5 km.综上所述，商业中心到 A，B 两处的距离和最短为 9 km，此时 OA6 km，OB3 km.故 A 离商业中心 6 km，B 离商业中心 3 km 为最佳位置法二：(三角法)如图，过点 P 作 PMOA 交 OB 于点 M，PNOB 交 OA 于点 N.设BAO.在OPN 中，PNsin90ONsin30OPsin 120，解得 PN1 km，ON4 kmPM.在P
55、NA 中，NPA120，所以 PNsin NAsin120，所以 NAsin120sin.同理在PMB 中，BMsin PMsin120，所以 MB4sin sin120.所以 yOAOBsin120sin 4sin cos120142 459，当且仅当sin120sin 4sin sin120，即 sin(120)2sin，即 tan 33 时取等号此时 OA6 km，OB3 km，故 A 离商业中心 6 km，B 离商业中心 3 km 为最佳位置由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的 4 步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y
56、f(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答即时应用某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因
57、为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(舍去)当 r(0,5)时，V(r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知
58、，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大 考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根重点保分型考点师生共研典例引领(2015广东高考节选)设 a1，函数 f(x)(1x2)exa.(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点解：(1)f(x)的定义域为 R，由导数公式知 f(x)2xex(1x2)ex(x1)2ex，xR.对任意 xR，都有 f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)证明：由(1)知 f(x)在(，)上单调递增，且 f(0)1a1，a10，a-1 0，ea-1 1，ea-1 10，故
59、f(a1)0，x0(0，a1)使得 f(x0)0.又f(x)在(，)上是单调函数，f(x)在(，)上仅有一个零点由题悟法利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现即时应用(2016苏州名校联考)函数 f(x)(ax2x)ex，其中 e 是自然对数的底数，aR.(1)当 a0 时，解不等式 f(x)0；(2)当 a0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x)x2 在t，t1上有解解：(1)因为 ex0，
60、所以不等式 f(x)0 即为 ax2x0，又因为 a0，所以不等式可化为 xx1a 0，所以不等式 f(x)0 的解集为1a，0.(2)当 a0 时，方程即为 xexx2，由于 ex0，所以 x0 不是方程的解，所以原方程等价于 ex2x10.令 h(x)ex2x1，因为 h(x)ex 2x20对于 x(，0)(0，)恒成立，所以 h(x)在(，0)和(0，)内是单调递增函数，又 h(1)e30，h(2)e220，h(3)e3130，h(2)e20，所以方程 f(x)x2 有且只有两个实数根，且分别在区间1,2和3，2上，所以整数 t 的所有值为3,1考点三 利用导数研究与不等式有关的问题常考
61、常新型考点多角探明命题分析导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题题点全练角度一：证明不等式1已知函数 f(x)xaex.(1)若 f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 a0，x01，设直线 yg(x)为函数 f(x)的图象在 xx0 处的切线，求证：f(x)g(x)解：(1)易得 f(x)x1aex，由已知知 f(x)0 对 x(，2)恒成立，故 x1a 对 x(，2)恒成立，1a2，a1.故实数 a 的取值范围为(，1(2
62、)证明：a0，则 f(x)xex.函数 f(x)的图象在 xx0 处的切线方程为 yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令 h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则 h(x)f(x)f(x0)1xex 1x0e x01xe x01x0exe0 xx.设(x)(1x)e x0(1x0)ex，xR，则(x)e x0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在 R 上单调递减，而(x0)0，当 xx0 时，(x)0，当 xx0 时，(x)0，当 xx0 时，h(x)0，当 xx0 时，h(x)0，h(x)在区间(，x0)上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，xR 时
63、，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)2已知函数 f(x)exax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A，曲线 yf(x)在点 A 处的切线斜率为1.(1)求实数 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)证明：当 x0 时，x2ex.解：(1)由 f(x)exax，得 f(x)exa.又 f(0)1a1，得 a2.所以 f(x)ex2x，f(x)ex2.令 f(x)0，得 xln 2，当 xln 2 时，f(x)ln 2 时，f(x)0，f(x)在(ln 2，)上单调递增所以当 xln 2 时，f(x)取得极小值，且极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2
64、)证明：令 g(x)exx2，则 g(x)ex2x.由(1)，得 g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，故 g(x)在 R 上单调递增又 g(0)10，所以当 x0 时，g(x)g(0)0，即 x20 时，f(x)0 恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1 不是 f(x)的极值点故不存在实数 a，使得 f(x)在 x1 处取得极值(2)由 f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax202x0，记 F(x)xln x(x0)，F(x)x1x(x0)，当 0 x1 时，F(x)1 时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a x202x0 x0ln x0，记 G(x)x2
65、2xxln x，x1e，e，G(x)2x2xln xx2x1xln x2x1x2ln x2xln x2.x1e，e，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x1e，1 时，G(x)0，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1，aG(x)min1.故实数 a 的取值范围为1，)方法归纳导数在不等式问题中的应用问题 2 大解题策略(1)利用导数证明不等式若证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)(2
66、)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题一保高考，全练题型做到高考达标1定义在实数集上的函数 f(x)x2x，g(x)13x32xm.(1)求函数 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若 f(x)g(x)对任意的 x4,4恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)f(x)x2x，当 x1 时，f(1)2，f(x)2x1，f(1)3，所求切线方程为 y23(x1)，即 3xy10.(2)令 h(x)g(x)f(x)
67、13x3x23xm，则 h(x)(x3)(x1)当4x1 时，h(x)0；当1x3 时，h(x)0；当 3x4 时，h(x)0.要使 f(x)g(x)恒成立，即 h(x)max0，由上知 h(x)的最大值在 x1 或 x4 处取得，而 h(1)m53，h(4)m203，所以 m530，即 m53，实数 m 的取值范围为，53.2已知函数 f(x)axaex(a0)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x)f(x)1 没有零点，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)x1ex，f(x)x2ex.由 f(x)0，得 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变
68、化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值 所以，函数 f(x)的极小值为 f(2)1e2，函数 f(x)无极大值(2)F(x)f(x)aexaxaexe2xax2ex.当 a0 时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值 若使函数 F(x)没有零点，当且仅当 F(2)ae210，解得 ae2，所以此时e2a0.故实数 a 的取值范围为(e2,0)3某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5
69、 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，解得 a2.(2)由(1)，可知 y 2x310(x6)2.设该商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)元，则 f(x)(x3)2x310 x62 210(x3)(x6)2,3x6，所以 f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)令 f(x)0，得 x4 或 6(舍去)当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)
70、极大值 由上表，可知当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值为 42.故当销售价格为 4 元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大4(2016扬州调研)已知函数 f(x)x33 ax2(a21)x 和 g(x)xa2x.(1)求证：不论实数 a 取何值，f(x)总有两个极值点；(2)若 f(x)和 g(x)有相同的极值点，求实数 a 的值解：(1)证明：由题意，知 f(x)x22axa21x(a1)x(a1)，令 f(x)0，解得 xa1 或 xa1，当 xa1 时，f(x)0，当 a1xa1 时，f(x)0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x2，都有 n0；对于任意
71、的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)解析：对于，由 f(x)2x 的单调性可知 f(x)2x 在其定义域上单调递增，则有 m0，故正确对于，由 g(x)x2ax 的单调性可知 g(x)x2ax 在其定义域上先减后增，则存在n0 的情形，故错误对于，由 mn，得 f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令 H(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得 H(x)2xln 22xa.令 H(x)0，得 2xln 22xa.(*)图(1)由图(
72、1)易知，当 a 很小时，两图象无交点，故方程(*)无解，所以不一定存在 x1，x2 使得 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故不正确对于，由 mn，得 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令 F(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得 F(x)2xln 22xa，令 F(x)0，图(2)得 2xln 22xa.(*)由图(2)易知，两图象必有交点，故方程(*)必有解，所以一定存在 x1，x2 使得 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故正确答案：5(2015重庆高考)设函数 f(x)3x2axex(aR)(1)若 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲
73、线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)在3，)上为减函数，求 a 的取值范围解：(1)对 f(x)求导得f(x)6xaex3x2axexex23x26axaex.因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，即 a0.当 a0 时，f(x)3x2ex，f(x)3x26xex，故 f(1)3e，f(1)3e，从而 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3e3e(x1)，化简得 3xey0.(2)由(1)知 f(x)3x26axaex，令 g(x)3x2(6a)xa，由 g(x)0，解得 x16a a2366，x26a a2366.当 xx1 时，g(x)0，
74、即 f(x)0，故 f(x)为减函数；当 x1x0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2 时，g(x)0，即 f(x)0时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是_解析：设 yg(x)fxx(x0)，则 g(x)xfxfxx2，当 x0 时，xf(x)f(x)0，g(x)0 时，由 f(x)0，得 g(x)0，由图知 0 x1，当 x0，得 g(x)0，由图知 x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1)3(2015全国卷)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求
75、a 的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为f 1a ln 1a a11aln aa1.因此 f 1a 2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1)4(2015江苏高考)已知函数 f(x)x3ax2b(a，bR)(1)试讨论 f(x)的单调性；(2)若 bc
76、a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(，3)1，32 32，求 c 的值解：(1)f(x)3x22ax，令 f(x)0，解得 x10，x22a3.当 a0 时，因为 f(x)3x20，所以函数 f(x)在(，)上单调递增；当 a0 时，x，2a3(0，)时，f(x)0，x2a3，0 时，f(x)0，所以函数 f(x)在，2a3，(0，)上单调递增，在2a3，0 上单调递减；当 a0 时，x(，0)2a3，时，f(x)0，x0，2a3 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(，0)，2a3，上单调递增，在0，2a3 上单调递减(2)由(1)
77、知，函数 f(x)的两个极值为 f(0)b，f2a3 427a3b，则函数 f(x)有三个零点等价于 f(0)f2a3 b427a3b 0，从而a0，427a3b0或a0，0b 427a3.又 bca，所以当 a0 时，427a3ac0 或当 a0 时，427a3ac0.设 g(a)427a3ac，因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是(，3)1，32 32，则在(，3)上 g(a)0，且在1，32 32，上 g(a)0 均恒成立，从而 g(3)c10，且 g 32 c10，因此 c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因为函数有三个零点，则 x2(a1)x1
78、a0 有两个异于1 的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得 a(，3)1，32 32，.综上 c1.5(2015北京高考)设函数 f(x)x22 kln x，k0.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1，e 上仅有一个零点解：(1)由 f(x)x22 kln x(k0)，得 x0 且 f(x)xkxx2kx.由 f(x)0，解得 x k(负值舍去)f(x)与 f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，k)k(k，)f(x)0f(x)k1ln k2 所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增
79、区间是(k，)f(x)在 x k处取得极小值 f(k)k1ln k2.(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为 f(k)k1ln k2.因为 f(x)存在零点，所以k1ln k20，从而 ke.当 ke 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且 f(e)0，所以 x e是 f(x)在区间(1，e 上的唯一零点当 ke 时，f(x)在区间(1，e 上单调递减，且 f(1)120，f(e)ek2 0，所以 f(x)在区间(1，e 上仅有一个零点综上可知，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1，e 上仅有一个零点6(2015福建高考)已知函数 f(x)ln xx122.(1
80、)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1 时，f(x)x1；(3)确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x01，当 x(1，x0)时，恒有 f(x)k(x1)解：(1)f(x)1xx1x2x1x，x(0，)由 f(x)0，得x0，x2x10，解得 0 x1 52.故 f(x)的单调递增区间是0，1 52.(2)证明：令 F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有 F(x)1x2x.当 x(1，)时，F(x)0，所以 F(x)在1，)上单调递减，故当 x1 时，F(x)F(1)0，即当 x1 时，f(x)x1.(3)由(2)知，当 k1 时，不存在 x01 满足题意当 k1 时，对于 x1，有 f(x)x1k(x1)，则 f(x)k(x1)，从而不存在 x01 满足题意当 k1 时，令 G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有 G(x)1xx1kx21kx1x.由 G(x)0，得x2(1k)x10，解得 x11k 1k2420，x21k 1k2421.当 x(1，x2)时，G(x)0，故 G(x)在1，x2)内单调递增从而当 x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即 f(x)k(x1)，综上，实数 k 的取值范围是(，1)
