1、河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训11-3推理与证明试题 新人教A版1.(文)(2012江西理，6)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199答案C解析本题考查了归纳推理能力，134,347,4711,71118,111829，4776123，故选C.点评解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力(理)已知函数f(x)sinxexx2013，令f1(x)f (x)，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn
2、1(x)fn(x)，则f2014(x)()Asinxex BcosxexCsinxex Dcosxex答案C解析f1(x)f (x)cosxex2013x2012，f2(x)f1(x)sinxex20132012x2011，f3(x)f2(x)cosxex201320122011x2010，f4(x)f3(x)sinxex2013201220112010x2009，由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T4；而f2014(x)f 2013(x)，此时其最后一项的导数将变为0.故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2014(x)f(24503)(x)s
3、inxex.2(文)(2011惠州模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|答案C解析如图所示，y22px的准线为x，P1Al，P2Bl，P3Cl.由抛物线定义知：|P1F|P1A|x1，|P2F|P2B|x2，|P3F|P3C|x3，2|P2F|2(x2)2x2p，|P1F|P3F|(x1)(x3)x1x3p.又2x2x1x3，2|FP2|FP1|FP3|.(理)(
4、2011山东实验中学期末)具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx，yx，y中满足“倒负”变换的函数是()A BC D只有答案C解析对于函数f(x)x，fxf(x)，是“倒负”变换的函数，排除B；对于函数f(x)x有fxf(x)不满足“倒负”变换，排除A；，当0x1，f(x)x，fxf(x)；当x1时，0b)若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF，试用类比的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设OAB、OCD的面积分别为S1、S2，EFAB，且EF到CD与AB的距离之比为mn，则OEF的面
5、积S0与S1、S2的关系是()AS0 BS0C. D.答案C解析根据面积比等于相似比的平方求解4(2011咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16这样的数称为“正方形数”如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()13310；25916；361521；491831；642836.ABCD答案C解析这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：152136,283664，只
6、有是对的5设是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a、bA ，有abA，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A自然数集 B整数集C有理数集 D无理数集答案C解析令a1，b2，可排除A、B.令a，b3，3，可排除D，故选C.点评这是一个信息给予题，用筛选法(即排除法解)更加简便6规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第ns时机器狗所在的位置坐标，且P(0)0，则下列结论中正确的是()AP(2012
7、)404 BP(2013)404CP(2014)405 DP(2015)405答案A解析显然每5s前进一个单位，且P(1)1，P(2)2，P(3)3，P(4)2，P(5)1，P(2012)P(54022)4022404，P(2013)405，P(2014)404，P(2015)403，故选A.7已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，按以上构造规律，第2014个数对是_答案(61,3)解析所给各数对依次为对整数2,3,4,5，的分解，且是第一个数从小到大依次分
8、解，2的分解有一个(1,1)，3的分解有两个(1,2)，(2,1)，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)，n(n2，nN)的分解有n1个，由2014得，n63，n63时，1953，故第2014个数对为64的分解第61对，由(1,63)，(2,62)，(3,61)，(4,60)，知，第61对为(61,3)8(2011湘潭五模)已知2，3，4，若6，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则at_.答案41解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n，所以当n6时a6，t35，at41.9(2011江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足aa1，那么a1a2
9、.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1.因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2)280，所以a1a2.类比上述结论，若n个正实数满足aaa1，你能得到的结论为_答案a1a2an(nN*)解析构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，f(x)0对任意实数x都成立，4(a1a2an)24n0，a1，a2，an都是正数，a1a2an.10设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？证明(1)证法一(反证法)：若Sn是等比数列，则SS1
10、S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)a10，(1q)21qq2，q0，与q0矛盾，故Sn不是等比数列证法二：只需证明SnSn2S.Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1，SnSn2SSn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10.故Sn不是等比数列(2)当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列，否则由S1，S2，S3成等差数列得，2S2S1S3.2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，qq2，q1，q0，与q0矛盾.能力拓展提升11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中
11、x1、x2、x3分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x3x1 Dx3x2x1答案C解析x150(x355)x35x3x1，x230(x120)x110x2x1，x330(x235)x25x2x3，x2x3x1，选C.点评抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键，考查阅读理解能力12(文)(2011泉州模拟)考察下列一组不等式：2353225252,2454235253,25225252，.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为
12、推广不等式的特例，则推广的不等式为_答案amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)解析由“2353225252”，“2454235253”，“2522525”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“”的形式再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“ababab”的形式再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)(理)观察等式：sin230cos260sin30cos60，sin220cos250sin20cos50和sin215cos245sin15cos45，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()Asin2cos2sin
13、cosBsin2(30)cos2sin(30)cosCsin2(15)cos2(15)sin(15)cos(15)Dsin2cos2(30)sincos(30)答案A解析观察已知等式不难发现，60305020451530，推广后的命题应具备此关系，但A中与无联系，从而推断错误的命题为A.选A.13(文)(2011江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_.”答案3解析如图，易知球心O在线段AM
14、上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，则BM，AM，R，解得R.于是，3.(理)如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则(ihi).类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若k，则(iHi)的值为()A. B.C. D.答案B解析在平面四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S(a1h1a2h2a3h3a4h4)(kh12kh23kh34
15、kh4)(ihi)所以(ihi).类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V(S1H1S2H2S3H3S4H4)(kH12kH23kH34kH4)(H12H23H34H4)(iHi)，(iHi).点评类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确14已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m、nN*)，则amn；现已知等比数列bn(nN*)，bma，bnb(mn，
16、m、nN*)，先类比上述结论，得出在等比数列bn中bnm的表达式，再证明你所得出的结论解析等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，数列中的可以类比等比数列中的，故bmn.证明如下：设bnb1qn1，则bnmb1qnm1，bma，bnb，bqn(n1)m(m1)bq(nm)(nm1)，b1qnm1bmn.15(2011上海模拟)冬天，洁白的雪花飘落时非常漂亮为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克(Koch Heige Von)把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线它的形成过程如下：()将正三角形(图)的每边三等分，并以中间的那一条
17、线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图；()将图的每三边等分，重复上述作图方法，得到图；()再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线将图、图、图中的图形依次记作M1，M2，Mn，设M1的边长为1.记Mn的边数为an，边长bn，周长为Ln.(1)写出a1，a2，a3；b1，b2，b3；(2)求an，bn，Ln.解析(1)a13，a212，a348，b11，b2，b3.(2)其边数与边长的变化规律是：一条边变为4条边，边长为原来的，如图an14an，bn1bn.又a13，an34n1，b11，bn.Lnanbn34n13n1.16已知abc，且abc0，求证：a.证明
18、要证a，只需证b2ac3a2，因为abc0，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.因为abc，所以ab0，ac0，所以(ab)(ac)0，显然成立，故原不等式成立1(2011江西理，7)观察下列各式：553125, 5615625, 5778125，则52011 的末四位数字为()A3125 B5625C0625 D8125答案D解析因为58390625,591953125.所以5n(n5)的末四位数字周期为4，201150243，故52011的末四位数字为8125，故选D.2将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在()A第44行第78列 B第45行
19、第78列C第44行第77列 D第45行第77列答案B解析第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421936,4522025，且19362014，2014在第45行2014193678，2014在第78列，选B.3(2011清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是()AB*D，A*D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A*D答案B解析观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A|，B，C，D，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.4(2011皖南八校联考)为提高信息
20、在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0,1(i0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，运算规则为：000,011,101,110.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A11010 B01100C10111 D00011答案C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0011，而h1h0a2110，故传输信息应是10110.5n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2012
21、到2014的箭头方向依次为()A BC D答案A解析观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与012相同，故选A.6(2012陕西文，12)观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案1解析本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12,22,32，(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1，所以第五个不等式为：10，b0，ab1.求证：2.证明要证2，只需证ab24，又ab1，故只需证1，只需证(a)(b)1，只需证ab.a0，b0,1ab2，ab，故原不等式成立
22、10(2012福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.
