1、2.2.1椭圆及其标准方程目标 1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程.2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程重点 椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程难点 椭圆标准方程的推导知识点一 椭圆的定义填一填平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距答一答1定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不
2、存在知识点二椭圆的标准方程填一填答一答2如何理解“标准方程”中的“标准”的意义？提示：(1)两个焦点F1，F2在坐标轴上；(2)线段F1F2的中点是坐标原点只有同时满足这两个条件时，所得到的方程才是标准方程3在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2a2c2，b0?提示：令b2a2c2可以使方程变得简单整齐今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b0.4对于一个椭圆的标准方程，怎样判断其焦点所在的坐标轴呢？提示：依据椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小，即椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大1
3、对椭圆定义的理解(1)椭圆的定义揭示了椭圆的本质，是判断动点轨迹是否为椭圆的重要依据(2)设集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c均为大于0的常数当2a2c时，集合P为椭圆；当2a2c时，集合P为线段F1F2；当2ab0)，F1，F2是它的焦点AB是过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则ABF2的周长是_【分析】数形结合，由椭圆定义即求得答案【解析】(1)若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a0，为常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，为常数)，当2a|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a|AB|时，
4、点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件综上可知，甲是乙的必要不充分条件(2)如图，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，ABF2的周长为4a.【答案】(1)B(2)4a一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为(A)A5B6C4 D10解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a10,1055.类型二椭圆标准方程的识别【例2】当3k9时，指出方程1表示的曲线【
5、分析】比较9k与k3的大小，确定曲线类型【解】3k0，k30.(1)当9kk3，即3k6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9kk3，即k6时，方程表示圆x2y23；(3)当9kk3，即6k9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上.已知曲线C：1，则“4k5k0，即4k5，故“4kb0)，则a216，b2a2c21697.椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的标准方程为1或1.(3)解法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得所以所求椭圆的
6、方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得(舍去)故所求椭圆的方程为1.解法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)依题意有解得所以所求椭圆的方程为1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解：(1)解法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求
7、椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得即a24，b28，则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.解法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.类型四素养提升椭圆中的焦点三角形问题【例4】如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1
8、F2120，求PF1F2的面积【思路分析】由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解【精解详析】由已知a2，b，得c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin1202，即PF1F2的面积是.【解后反思】椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦
9、点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用SabsinC把|PF1|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|PF2|2a及余弦定理求出|PF1|PF2|，这样可以减少运算量设M是椭圆1上一点，F1、F2为焦点，F1MF2，则SMF1F2(C)A.B16(2)C16(2) D16解析：设|MF1|r1，|MF2|r2，则，r1r264(2)，SMF1F2r1r2sin16(2).1设P是椭圆1上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于(D)A4 B5C8 D10解析：|PF1|PF2|2a10.2若方程
10、1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角的取值范围是(C)A(，) B，)C(，) D，)解析：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，8sin4，sin.为锐角，.3椭圆的两焦点坐标分别为(2,0)和(2,0)，且椭圆过点(，)，则椭圆方程是(D)A.1 B.1C.1 D.1解析：由题可知c2，即a2b24，故可设椭圆的标准方程为1，将(，)代入可求得b26，再将b26代入a2b24得a210，故应选D.4若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(6，2)(3，)解析：由题意得，6a3.5已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程解：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示，由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4,0)由|AB|AC|BC|18，得|AB|AC|108，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，但点A不在x轴上设顶点A的轨迹方程为1(ab0)由题意知这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，a5，又c4，b2a2c29.所以点A的轨迹方程为1(y0)
