1、1.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f (x)存在，且导函数f (x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f (x)(f (x)，若f (x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凹函数，以下四个函数在(0，)上是凹函数的是()Af(x)sinxcosx Bf(x)lnx2xCf(x)x32x1 Df(x)xex答案D解析(1)若f(x)sinxcosx，则f (x)cosxsinx，f (x)sinxcosx，f (x)0在(0，)上不成立；(2)若f(x)lnx2x，则f (x)2，f (x)，f (x)0在(0，)上不成立；(3)若f(x)x32x1，则f (x)3x2
2、2，f (x)6x，f (x)0在(0，)上不成立；(4)若f(x)xex，则f (x)(x1)ex，f (x)(2x)ex，当x(0，)时，f (x)0恒成立，故选D.2(2013济南外国语学校第一学期质检)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为()A2B3C6D9答案D解析函数的导数为f (x)12x22ax2b，函数在x1处有极值，则有f (1)122a2b0，即ab6，所以6ab2，即ab9，当且仅当ab3时取等号，选D.3(文)(2011宿州模拟)已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f (x)1，则f(x)x的解集是()A(0,1
3、) B(1,0)(0,1)C(1，) D(，1)(1，)答案C解析令F(x)f(x)x，则F (x)f (x)10，所以F(x)是增函数，f(x)x，F(x)0，F(1)f(1)10，F(x)F(1)，F(x)是增函数，x1，即f(x)x的解集是(1，)(理)(2011辽宁文)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f (x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析由题意，令 (x)f(x)2x4，则(x)f (x)20.(x)在R上是增函数又(1)f(1)2(1)40，当x1时，(x)(1)0，f(x)2x40，f(x)2x4.故选B.
4、4(文)设函数f(x)ax3bx2cx在x1处均有极值，且f(1)1，则a、b、c的值为()Aa，b0，cBa，b0，cCa，b0，cDa，b0，c答案C解析f (x)3ax22bxc，所以由题意得即解得a，b0，c.(理)(2012潍坊模拟)已知非零向量a，b满足|a|b|，若函数f(x)x3|a|x22abx1在R上有极值，则a，b的取值范围是()A0， B(0，C(， D(，答案 D解析据题意知，f (x)x22|a|x2ab，若函数存在极值，必有(2|a|)242ab0，整理可得|a|22ab，故cosa，b，解得0)，函数f(x)在1，)上为增函数，f (x)0对x1，)恒成立，ax
5、10对x1，)恒成立，即a对x1，)恒成立，a1.8(文)函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf (x)在(a，b)上的图象如图，则yf(x)在区间(a，b)上极大值的个数为_答案2解析由f (x)在(a，b)上的图象可知f (x)的值在(a，b)上，依次为，f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个点评应注意题设中给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，在f (x)的图象上，位于x轴上方部分使f (x)0，f(x)单调增，位于x轴下方部分，使f (x)0，f(x)单调减，f(x)的极值点是f (x)的图象与x轴的交点，千万要注意，不
6、要把f (x)的单调性误以为是f(x)的单调性请再练习下题：(2011绵阳模拟)如图是函数yf(x)的导函数的图象，给出下面四个判断f(x)在区间2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x2是f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是_答案解析由函数yf(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间2，1上是减函数，在1,2上为增函数，在2,4上为减函数；(2)f(x)在x1处取得极小值，在x2处取得极大值故正确(理)已知函数f(x)ln(1x)ax的图象在x1处的切线与直线x2y10平行，则实数a的值为_答案1解析f (x)a，f
7、 (1)a.由题知a，解得a1.点评函数f(x)在点(x0，y0)处切线l的斜率为f (x0)，若l与l1平行(或垂直)，则f (x0)kl1(或f (x0)kl11)请再练习下题：已知曲线yx21在xx0处的切线与曲线y1x3在xx0处的切线互相平行，则x0的值为_答案0或解析由条件知，2x03x，x00或.9(2012湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f (x)5cosx，x(1,1)，且f(0)0，如果f(1x)f(1x2)0，则实数x的取值范围为_答案(1，)解析导函数是偶函数，原函数f(x)是奇函数，且定义域为(1,1)，又由导数值恒大于0，原函数在定义域上单调递增，所求不
8、等式变形为f(1x)f(x21)，11xx211，解得1x2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点 B1个零点C2个零点 D3个零点答案B解析f (x)x22axx(x2a)0x10，x22a4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)10，f(2)4af(x)，则当a0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为()Af(a)eaf(0)Cf(a)eaf(0) Df(a)eaf(0)答案B解析令F(x)，则F(x)0，F(x)为增函数，a0，F(a)F(0)，即f(0)，f(a)eaf(0)，故选B.14(2011浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f (x)2
9、x9，且f(0)的值为整数，当xn，n1(nN*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n_.答案4解析由题可设f(x)x29xc(cR)，又f(0)的值为整数即c为整数，f(n)n29nc为整数，f(n1)(n1)29(n1)cn27nc8为整数，又xn，n1(nN*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，n27nc8n29nc，即n4.15(文)设函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间解析(1)函数的图象经过(0,0)点，c0.又图象与x轴相切于(0,0)点，y3x22axb，b0，y
10、x3ax2，y3x22ax.当xa时，函数有极小值4.3a24，得a3.(2)y3x26x0，解得0x2.递减区间是(0,2)(理)设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解析(1)f (x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f (x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f (x)0得x.当x(，)时，f (x)0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f (x)0，函数
11、f(x)单调递增故x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点16(文)设函数g(x)x3ax2bx(a，bR)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)(1)若方程f(x)0有两个实根分别为2和4，求f(x)的表达式；(2)若g(x)在区间1,3上是单调递减函数，求a2b2的最小值解析(1)根据导数的几何意义知f(x)g(x)x2axb，由已知2,4是方程x2axb0的两个实根，由韦达定理f(x)x22x8.(2)g(x)在区间1,3上是单调递减函数，所以在1，3区间上恒有f(x)g(x)x2axb0，即f(x)x2axb0在1,3上恒成立这只需满足即可，也即而a2b2可视为平
12、面区域内的点到原点距离的平方，其中点(2,3)距离原点最近所以当时，a2b2有最小值13.(理)(2011天津文)已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0，求f(x)的单调区间；(3)证明：对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点解析(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f (x)12x26x6，f (0)6，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.(2)f (x)12x26tx6t2，令f (x)0，解得xt或x，因为t0，以下分两种情况讨论：若t0
13、，则0，则t0时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：当1，即t2时，f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增f(0)t10，f(1)6t24t3644230.所以对任意t2，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点当01，即0t2时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，若t(0,1，ft3t1t30，所以f(x)在内存在零点若t(1,2)，ft3(t1)t310，所以f(x)在内存在零点所以，对任意t(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点，综上，对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点1(2012河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x
14、)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f (x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为()Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 Dx|x1，或0xexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.2设曲线yx21上任一点(x，y)处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象可以为()答案A解析g(x)(x21)2x，yg(x)cosx2xcosx，显然y2xcosx为奇函数，排除B、D，且在原点右侧附近，函数值大于零排除C.3设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf
15、 (x)的图象可能为图中的()答案D解析当yf(x)为增函数时，yf (x)0，当yf(x)为减函数时，yf (x)0，可判断D成立4(2012深圳第一次调研)已知函数f(x)的导函数f (x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案D解析当x0时，由导函数f (x)ax2bxc0时，由导函数f (x)ax2bxc的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增只有D选项符合题意5f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(x)0.对任意正数a、b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(
16、a)f(b) Dbf(b)f(a)答案A解析xf (x)f(x)0，又f(x)0，xf (x)f(x)0.设y，则y0，故y为减函数或为常数函数又a0，af(b)bf(a)点评观察条件式xf (x)f(x)0的特点，可见不等式左边是函数yxf(x)的导函数，故可构造函数yxf(x)或y通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a，b是实数，且eabaBabe时，f (x)0，f(x)在(e，)上单调递减eaf(b)，即，blnaalnb，lnablnba，abba.6(2011安徽池州一中期末)已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_
17、答案b3解析yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.7已知f(x)lnxx2bx.(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(2)当b1时，设g(x)f(x)2x2，求证函数g(x)只有一个零点解析(1)f(x)在(0，)上递增，f (x)2xb0，对x(0，)恒成立，即b2x对x(0，)恒成立，只需bmin，x0，2x2，当且仅当x时取“”，b2，b的取值范围为(，2(2)当b1时，g(x)f(x)2x2lnxx2x，其定义域是(0，)，g(x)2x1，令g(x)0，即0，x0，x1，当0x0；当x1时，g(x)0，函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，当x1时，g(x)g(1)，而g(1)0，g(x)0，函数g(x)只有一个零点
