1、2015-2016学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2命题“若1x0，则x21”的逆否命题是（）A若x0或x1，则x21B若x21，则1x0C若x21，则x0或x1D若x21，则x0或x13对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B残差平方和
2、越小的模型，拟合的效果越好C用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于14如图，程序输出的结果s=11880，则判断框中应填（）Ai11？Bi10？Ci9？Di9？5若a0，b0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）A B1C4D86在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=1，B=，ABC的面积S=2，则的值为（）A5B5C D7若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（，3）（6，+）C（3，6）D（，1）（2，+）8在极坐标系中，已知直线方
3、程为sin（+）=，则点A（2，）到这条直线的距离为（）A B2C D9设变量x、y满足约束条件，则z=2x（）y的最小值为（）A B C D10下列类比推理的结论正确的是（）类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；类比“设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列”；类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPAkPB为常数”，得到猜想“设A
4、B为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPAkPB为常数”ABCD11已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A B C D12已知偶函数F（x）=，且f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数z与（z+2）28i均是纯虚数，则z=14某大学餐饮中心对全校一年级新生饮食习惯进行抽样调查，结果为：南方学生喜欢甜品的
5、有60人，不喜欢甜品的有20人；北方学生喜欢甜品的有10人，不喜欢甜品的有10人问有%把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；附：K2=P（K2k0）0.100.050.010.005k02.7063.8416.6357.87915设直角三角形ABC三边长成等比数列，公比为q（q1），则q2的值为16已知椭圆C1： +=1（ab0）与双曲线C2：x2=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的短轴长为三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和
6、为Sn，Sn=nann（n1），且a1=1（） 求证an是等差数列，并求an的通项公式；（） 设bn=，求数列bn的前n项和Tn18在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积19经过抛物线y2=2px（p0）外一点A（2，4）的直线l：（t为参数，tR）与抛物线分别交于M1，M2两点，且|AM1|、|M1M2|，|AM2|成等比数列（1）把直线l的参数方程化为普通方程；（2）求p的值及线段M1M2的长度20如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（）证明：BC1平面A1CD（）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱
7、锥CA1DE的体积21如图，已知F是抛物线x2=2py（p0）的焦点，O为坐标原点，过点O、F的圆的圆心为Q，点Q到抛物线准线的距离为过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交点为M（1）求抛物线的方程；（2）求的值22已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求实数a的取值范围2015-2016学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
8、中，只有一项是符合题目要求的.1用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立，欲使AB，只需CD，即表示：条件CD 成立，能推出AB成立，是的必要条件【解答】解：分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立，即，所以是的必要条件，故选B2命题“若1x0，则x21”的逆否命题是（）A若x0或x1，则x21B若x21，则1x0C若x21，则x0或x1D若x21，则x0或x1【考点】四种命题【分析】否定命题的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可写出命题
9、的逆否命题【解答】解：由命题与逆否命题的关系可知：命题“若1x0，则x21”的逆否命题是“若x21，则x0或x1”故选：D3对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1【考点】线性回归方程【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，），正确；残差平方和越
10、小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确故选：C4如图，程序输出的结果s=11880，则判断框中应填（）Ai11？Bi10？Ci9？Di9？【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=11880，i=8时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S的值，则判断框中应填i9【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件，执行循环体，s=12，i=11满足条件，执行循环体，s=132，i=10满足条件，执行循环体，s=1320，i=9满
11、足条件，执行循环体，s=11880，i=8此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S的值为11880，则判断框中应填i9，故选：D5若a0，b0且ln（a+b）=0，则的最小值是（）A B1C4D8【考点】基本不等式【分析】依题意，可求得a+b=1，利用基本不等式即可求得答案【解答】解：a0，b0且ln（a+b）=0，a+b=1，+=（a+b）（+）=1+1+4（当且仅当a=b=时取“=”）则的最小值是4故选C6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=1，B=，ABC的面积S=2，则的值为（）A5B5C D【考点】正弦定理【分析】由已知及三角形面积公式可求c，利用余弦定理即可求
12、b的值，根据特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：a=1，B=，ABC的面积S=acsinB=2，解得：c=4，由余弦定理可得：b=5，=5故选：A7若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（，3）（6，+）C（3，6）D（，1）（2，+）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由题意求导f（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为=（2a）243（a+6）0；从而求解【解答】解：f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，f（x）=3x2+2ax+（a+6）；又函数f（
13、x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，=（2a）243（a+6）0；故a6或a3；故选B8在极坐标系中，已知直线方程为sin（+）=，则点A（2，）到这条直线的距离为（）A B2C D【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把直线极坐标方程化为直角坐标方程，点A的坐标化为直角坐标，利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：直线方程为sin（+）=，展开化为：（sin+cos）=，可得直角坐标方程为：x+y=1则点A（2，）化为A，即A点A到这条直线的距离=故选：C9设变量x、y满足约束条件，则z=2x（）y的最小值为（）A B C D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平
14、面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可【解答】解：由=2x2y，设m=x2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时m大，z最小，由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x2y，得z=222=24=2，目标函数z=2x（）y的最小值为22=，故选：B10下列类比推理的结论正确的是（）类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；类比“设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S
15、4，S12S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列”；类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPAkPB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPAkPB为常数”ABCD【考点】类比推理【分析】（），（），分别为与向量，共线的向量，当，方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立；空间中，同垂直于一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；利用排除法可得答案【解答】解：（）与向量共线，（ ）与向量共线，当，方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立，故错误，可排除A，C答案；空间
16、中，同垂直于一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误，可排除D答案；故选：B11已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，代入双曲线的方程，从而得到关于a，b 的方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程【解答】解：由于双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0）故双曲线的半焦距c=2，又|PF|=5，设P（m，n），由抛物线的定义知|PF
17、|=m+2m+2=5，m=3，点P的坐标（3，），解得：，则双曲线的渐近线方程为，故选：A12已知偶函数F（x）=，且f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数F（x）=，为减函数，F（x）为偶函数，函数F（x）在（，0）上的单调性，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可得到答案【解答】解：F（x）=，F（x）=，当x0时，xf（x）f（x
18、）0，F（x）0，F（x）在（0，+）上为减函数，F（x）为偶函数，F（x）在（，0）上单调递减，F（1）=0，不等式f（x）0xF（x）0，或，解得：0x1或x1，f（x）0成立的x的取值范围是（，1）（0，1），故答案选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数z与（z+2）28i均是纯虚数，则z=2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】两个复数都是纯虚数，可设z，化简（z+2）28i，可求出z【解答】解：设z=ai，aR，（z+2）28i=（ai+2）28i=4+4aia28i=（4a2）+（4a8）i，它是纯虚数，a=2故答案为：2i14某大学餐饮中心对全校一
19、年级新生饮食习惯进行抽样调查，结果为：南方学生喜欢甜品的有60人，不喜欢甜品的有20人；北方学生喜欢甜品的有10人，不喜欢甜品的有10人问有95%把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；附：K2=P（K2k0）0.100.050.010.005k02.7063.8416.6357.879【考点】独立性检验的应用【分析】列出22列联表，根据表中数据，利用公式，即可得出结论【解答】解：由题意，22列联表如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100K2=4.7623.841，有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习
20、惯方面有差异”故答案为：9515设直角三角形ABC三边长成等比数列，公比为q（q1），则q2的值为fracsqrt5+12【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意设直角三角形ABC三边长分别为（q1），结合直角三角形中的勾股定理列式求得q2的值【解答】解：由题意设直角三角形ABC三边长分别为（q1），则由勾股定理可得：，即q4q21=0，解得（舍）或故答案为：16已知椭圆C1： +=1（ab0）与双曲线C2：x2=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的短轴长为sqrt2【考点】椭圆的简单性质【分析】由双曲线C2：x2=
21、1，可得焦点，渐近线方程为y=2可得：a2b2=5设渐近线y=2x与椭圆C1相交于点M（x1，y1），N（x1，y1）渐近线与椭圆方程联立可得：，|MN|2=4（+）|AB|2=（2a）2=4（b2+5），利用|AB|=3|MN|，即可得出【解答】解：由双曲线C2：x2=1，可得焦点，渐近线方程为y=2a2b2=5设渐近线y=2x与椭圆C1相交于点M（x1，y1），N（x1，y1）联立，可得=， =|MN|2=4（+）=4（+）=|AB|2=（2a）2=4a2=4（b2+5），4（b2+5）=9化为：2b2=1，2b=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程
22、或演算步骤17已知数列an的前n项和为Sn，Sn=nann（n1），且a1=1（） 求证an是等差数列，并求an的通项公式；（） 设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）由已知数列递推式得Sn1=（n1）an1（n1）（n2）（n2），与原递推式作差，可得anan1=2（n2），则数列an是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列，代入等差数列的通项公式求得an的通项公式；（）把（）中求得的通项公式代入bn=，然后利用裂项相消法求数列的前n项和【解答】解：（）Sn=nann（n1），Sn1=（n1）an1（n1）（n2）（n2），列式相减得：an=nan（n1
23、）an12（n1），即anan1=2（n2），数列an是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列，an=1+2（n1）=2n1；（）bn=，Tn=b1+b2+bn=18在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积【考点】解三角形【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB
24、的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，A+B+C=，sin（B+C）=sinA，2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，sinA0，B为三角形的内角，；（II）将代入余弦定理b2=a2+c22accosB得：b2=（a+c）22ac2accosB，即，ac=3，19经过抛物线y2=2px（p0）外一点
25、A（2，4）的直线l：（t为参数，tR）与抛物线分别交于M1，M2两点，且|AM1|、|M1M2|，|AM2|成等比数列（1）把直线l的参数方程化为普通方程；（2）求p的值及线段M1M2的长度【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）将参数方程两式相减即可消参数得到l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义得出|AM1|、|M1M2|，|AM2|，根据等比数列列出方程解出p【解答】解：（1）将参数方程两式相减得xy=2，即xy2=0直线l的普通方程为xy2=0（2）把：（t为参数）代入y2=2px得：t22（4+p）t+8（4+p）=0，设M1，M2对
26、于的参数分别为t1，t2则t1+t2=2（4+p），t1t2=8（4+p）|AM1|、|M1M2|，|AM2|成等比数列，（t1t2）2=|t1|t2|=t1t2（t1+t2）2=5t1t2即8（4+p）2=40（4+p）解得p=1或p=4（舍）t1t2=40|M1M2|=|t1t2|=220如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（）证明：BC1平面A1CD（）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥CA1DE的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）连接AC1 交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DFBC1再根据直线和平面
27、平行的判定定理证得BC1平面A1CD（）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD平面ABB1A1求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1DDE进而求得的值，再根据三棱锥CA1DE的体积为CD，运算求得结果【解答】解：（）证明：连接AC1 交A1C于点F，则F为AC1的中点直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DFBC1由于DF平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1平面A1CD（）AA1=AC=CB=2，AB=2，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形由D为AB的中点
28、可得CD平面ABB1A1 ，CD=A1D=，同理，利用勾股定理求得 DE=，A1E=3再由勾股定理可得+DE2=，A1DDE=，=CD=121如图，已知F是抛物线x2=2py（p0）的焦点，O为坐标原点，过点O、F的圆的圆心为Q，点Q到抛物线准线的距离为过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交点为M（1）求抛物线的方程；（2）求的值【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）根据垂径定理可知圆心O在直线y=上，根据O到准线的距离列方程解出p，得出抛物线方程；（2）求出切线方程，联立方程组解出M的坐标，得出向量的坐标，带入向量的数量积公式运算【解答】解：（1）抛物线的准
29、线方程为y=，焦点F（0，）圆O经过O，F，O在直线y=上O到抛物线的准线的距离d=，p=2抛物线的方程为x2=4y（2）设A（x1，），B（x2，）由x2=4y得y=，y=直线AM的方程为y=（xx1），即y=，直线BM的方程为y=（xx2），即y=联立方程组，解得M（，1）=（，2），=（x2x1，），=（）=+=022已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求f（x）的
30、导数，再对参数a进行讨论，利用导数函数值的正负，从而可求f（x）的单调区间；（2）对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）maxg（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）当a0时，由于x（0，+），f（x）0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+），当a0时，令f（x）=0，得当x变化时，f（x）与f（x）变化情况如下表：所以函数f（x）的单调增区间为（0，），函数f（x）的单调减区间为（2）由已知，转化为f（x）maxg（x）max因为g（x）=x22x+2=（x1）2+1，x0，1，所以g（x）max=2由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，值域为R，故不符合题意（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+32，故不符合题意） 当a0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，所以21ln（a），解得2016年7月14日
