1、72柱、锥、台的体积学 习 目 标核 心 素 养1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式(重点)2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积(难点)1.通过柱、锥、台的体积公式的学习提升直观想象素养.2.通过运用体积公式求多面体、旋转体的体积，提升数学运算素养.柱、锥、台的体积几何体体积说明柱体V柱体ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体(S上S下)hS上， S下分别为台体的上、下底面积，h为高思考：根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？提示：台体的体积公式为V台体(SS)h.当SS时，得柱体的体积公式V
2、柱体Sh；当S0时，得锥体的体积公式V锥体Sh.1圆台上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，这个圆台的体积是()A.B2C. D.D由已知，圆台上、下底面半径分别为1和2，又S圆台侧(12)l6，l2，高h，V(122212).2直角三角形两直角边AB3，AC4，以AB为轴旋转一周所得几何体的体积为()A12B16C20D24B旋转后的几何体为以AC4为底面半径，以3为高的圆锥，Vr2h42316.3如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a_.由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，则V33，所以a.4高为3的三棱锥PABC底面是边长为1的正三角形，则三棱锥
3、PABC的体积为_由已知三棱锥PABC的底面面积S1，VPABC3.柱体的体积问题【例1】已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm2,2 cm2，侧棱长为2 cm，求其体积解如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x cm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有解得底面菱形的面积Sxy(cm2)，所以该棱柱的体积为VSh2(cm3)求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理.熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键.1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比解设正方体边长为a，
4、圆柱高为h，底面半径为r，则有由得ra，由得rh2a2，V圆柱r2ha3，V正方体V圆柱a312.锥体的体积问题【例2】如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高若AB，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积解因为ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB，所以HAHB.因为APBADB60，所以PAPB，HDHCtan 301.可得PH，等腰梯形ABCD的面积为SACBD2.所以四棱锥的体积为V(2).三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面.求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式VSh进行计算即可.2如图所示，已知三棱柱ABCA1B1
5、C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.3已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C2D4B绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V2()2.台体的体积问题【例3】如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积思路探究求
6、圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解解设上、下底面半径分别为r，R.A1D3，A1AB60，AD，Rr，BDA1Dtan 603，Rr3，R2，r，h3，V圆台(R2Rrr2)h(2)22()2321.1求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地，棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台，则把高放在等腰梯形中求解2“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键4正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积解正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B110 cm，AB20 c
7、m，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形S侧4(1020)EE1780(cm2)，EE113 (cm)在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15 (cm)，OEAB10 (cm)，O1O12(cm)故该正四棱台的体积为V12(1022021020)2 800(cm3)对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体
8、积根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积1思考辨析(1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等()(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同()(3)锥体的体积是柱体体积的.()(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关()答案(1)(2)(3)(4)2已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A1 cm3 B2 cm3C3 cm3D6 cm3A该三棱锥的底面是两直角边为1,2的直角三角形，高为3，所以V1231.3九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著书中有如下问题：“今有
9、委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛 C36斛 D66斛B设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr2525(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)4设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，所以.
