1、江苏省南京、盐城市2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第I卷（选择题 共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若为实数，则实数的值为ABCD2已知函数的定义域为集合，函数的值域为，则=AB C D3函数的图象大致为 A B C D4一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测
2、他们的名次.学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是A甲 B乙 C丙 D丁5化简可得A B C D6某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的22列联表.则根据列联表可知年轻人非年轻人总计经常用流行用语12525150不常用流行用语351550总计16040200A有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D有97.5%的把握认为“经常用流行用
3、语”与“年轻人”没有关系参考公式：独立性检验统计量2，其中nabcd下面的临界值表供参考：P(2 x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8287设分别为双曲线的左右焦点，圆与双曲线的渐近线相切，过与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为A B C D18已知点在球O的表面上，平面，若，与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为A2 B3 C4 D5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符
4、合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9下列关于向量的运算，一定成立的有A；B；C；D.10下列选项中，关于的不等式有实数解的充分不必要条件有A BCD11已知函数，则下列说法正确的是 A函数是偶函数； B函数是奇函数；C函数在上为增函数；D函数的值域为.12回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221、15351等都是回文数.若正整数与满足且，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，则A；B；C；D.第II卷（非选择题 共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)1
5、3若函数为偶函数，则的一个值为 .(写出一个即可)14的展开式中有理项的个数为_.15在平面直角坐标系中，设抛物线与在第一象限的交点为，若的斜率为2，则_.16罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C:的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C围成的图形的面积S 2（选填“”、“”、“=”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是 .(第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设正项数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.18.(本小题满分12分)在中角的对边分别为，.（1
6、）求的取值范围；（2）若，求的值.19(本小题满分12分)如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，.（1）若，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求的长. (第19题图) 20(本小题满分12分)某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分服从正态分布N(71，81).（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如
7、下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若，则.21(本小题满分12分)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点.（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值.(第21题图) 22(本小题满分12分)设函数（）.（1）求证：有极值；（2）若时取极值，且对任意正整数都有，其
8、中，求的最小值.南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B9.ACD 10.AC 11.AD 12.BD13.(写一个即可)14.34 15. 16. 17.解：（1）因为当时， 所以当时， ，得当时，即， 3分因为数列的各项均正，所以当时， 故数列是公差为的等差数列，在式中令，得，故数列的通项公式为 5分（2）， 7分故10分18.解：（1）由及得，由得，得，故的取值范围为.（2）若，由正弦定理有，由（1）知，则，由得，解得或，又，.19.方法一：解：平面平面，平面平面，平面，平面. 2分（1）以为正交基底建立如图
9、所示空间直角坐标系，则，则，设，平面，则，令，得， 3分又，平面， 4分，二面角的正弦值为.6分（2）设，则，设平面，则，令，则，得， 8分设平面，则，令，则，得， 10分平面平面，即，得，即. 12分方法二：解：（1）平面平面，平面平面，平面，平面， 2分，又，平面.在平面内过点F作于，连结，又平面，为二面角的平面角，4分在CEF中，SCEF=，得，在AFG中，故.二面角的正弦值为. 6分（2）设平面平面，四边形ABEF为正方形，,又平面，平面，平面，又平面，平面平面， 8分平面，平面，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，. 10分设，则，则，得，即. 12分方法三：可将五面体补成一个
10、长方体，略.20.解：（1）因得分，所以标准差，所以优秀者得分，由，所以，因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为万人. 4分（2）法一：设抽奖一次获得的话费为，则， 6分所以抽奖一次获得电话费的期望值为，8分又由于10万人均参加抽奖，优秀者参加两次，所以抽奖次数的期望值为万次， 10分因此，估计这次活动所需电话费为万元. 12分法二：设每位参加活动者获得的电话费为，则， 9分所以，11分因此，估计这次活动所需电话费为万元. 12分21.解：（1）若为椭圆的上顶点，则，故直线，代入椭圆方程可得：，解得：， 2分即点，从而直线. 4分（2）设，法一：设直线，代入椭圆方程可得：，所以， 6分故
11、， 9分化简可得：，又均不为，故，即为定值.12分法二：设直线，代入椭圆方程可得：，所以， 6分即，即：，故，即，即为定值. 12分法三：设直线，代入椭圆方程可得：，所以， 6分即，不妨设，化简可得，又由，可得，即，即，即为定值. 12分法四：设直线，代入椭圆的方程可得：，则， 6分可得，故，即， 由可得，则，即为定值. 12分22.解：（1）由题意得，所以，即函数单调递增， 由，得，因，所以，解得， 2分当时，；当时，；函数在上递减，在上递增，因此，当时函数有极值. 4分（2）法一：由（1）知，函数的极值点（即函数的零点）唯一，因，令，则，得，当时，；当时，；所以，所以， 7分而当为大于1的正整数时，的取值有正有负， 8分又，因为正整数且，所以， 10分所以恒成立，且，也，所以的最小值为2. 12分法二：由（1）知，令（），则， 先证：，令，则，得，当时，；当时，；所以，即成立.所以， 7分又当时， 8分而，所以当时，且， 10分所以恒成立，且，也，所以的最小值为2. 12分
