1、课时跟踪检测（二十三） 直线与椭圆的位置关系及应用1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2C1 D0解析：选B由题意知，2，即b0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()ABC D解析：选A由题意可得a，故a23b2，e.3过椭圆x22y24的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A BC D解析：选B由消去y整理得7x212x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由弦长公式得|AB| .4已知椭圆C：x21，过点P的直线与椭圆C
2、相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C4x2y30 D4x2y10解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)点A，B在椭圆上，x1，x1.，得(x1x2)(x1x2)0.P是线段AB的中点，x1x21，y1y21，代入得9，即直线AB的斜率为9.故直线AB的方程为y9，即9xy50.5已知椭圆y21与直线yxm交于A，B两点，且|AB|，则实数m的值为()A1 BC D解析：选A由消去y并整理，得3x24mx2m220. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2. 由题意，得|AB| ，解得m1.6直线ykxk与焦点在y轴
3、上的椭圆1总有两个公共点，则实数m的取值范围是_解析：直线ykxk恒过(1,0)，由直线ykxk与焦点在y轴上的椭圆1总有两个公共点，可得解得m(1,4)答案：(1,4)7已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|F1B|的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，由消去y，得3x24x0.A(0，1)，B，|AB|，|F1A|F1B|4a|AB|4.答案：8过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由已知可得直线方程为y2x2，联立方程组解得A(0，2)，B，SOAB|OF
4、|yAyB|.答案：9焦点分别为(0,5)和(0，5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程解：设椭圆方程为1(ab0)依题意，有a2b2(5)250.由消去y并整理，得(a29b2)x212b2x4b2a2b20.因为，所以，所以a23b2.由，得a275，b225.经检验，此时0.所以椭圆方程为1.10顺次连接椭圆C：1(ab0)的四个顶点恰好构成了一个边长为 且面积为2 的菱形(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(0，2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOAkOB1，其中O为坐标原点，求|AB|.解：(1)由题可知，2ab2，a2b23，解得a，b1.所以椭圆C的
5、方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设直线l的方程为ykx2，将其代入方程y21，整理得(12k2)x28kx60.由64k224(2k21)0，解得k2，所以x1x2，x1x2.kOAkOB1，解得k25.所以|AB| .1多选已知直线y3x2被椭圆1(ab0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有()Ay3x2 By3x1Cy3x2 Dy3x2解析：选ACD作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标原点对称，而A、C、D中的直线与直线y3x2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，而B中的
6、直线被椭圆截得的弦长大于8，故选A、C、D.2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A1 B1C1 D1解析：选D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1，消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a218，故选D.3已知椭圆1，直线yx与椭圆交于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的点，且直线PA，PB的斜率存在，则kPAkPB()A2 B. C. D. 2解析：选C将直线yx代入椭圆1，得A，B，设
7、点P(x，y)，则直线PA，PB斜率分别为kPA，kPB，所以kPAkPB.4椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为_解析：设F为椭圆的右焦点，则AFAF，AFF，|AF|AF|，|FF|2|AF|，因此椭圆C的离心率为1.答案：15已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值解：(1)由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立整理得y2y90，1440，设A(x1
8、，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k，又k0，所以k.6已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点F的坐标为(2,0)所以解得又a2b2c2，所以b212，所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为yxt(t0)由消去y，整理得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4，且t0.另一方面，由直线OA与l的距离d4可得4，解得t2.因为24，0)(0,4，所以符合题意的直线l不存在
