1、课时跟踪检测（二十七） 抛物线的简单几何性质1顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2x By23xCy26x Dy26x解析：选C抛物线的焦点为，p3，且抛物线开口向右抛物线的标准方程为y26x.2已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y22px(p0)上，若|AF|BF|4，线段AB的中点到直线x的距离为1，则p的值为()A1 B1或3C2 D2或6解析：选B|AF|BF|4xAxB4xAxB4p2x中4p，因为线段AB的中点到直线x的距离为1，所以1，所以|2p|1p1或3.3设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A B1C D2解析：选Dy
2、24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)，得k2.故选D.4P为抛物线y22px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A相交 B相离C相切 D不确定解析：选C设PF的中点M(x0，y0)，作MNy轴于N点，设P(x1，y1)，则|MN|x0(|OF|x1)|PF|.故相切5已知A，B为抛物线y22x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为()A BC2 D2解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，由得2，即4kAB2，kAB.6已知点F为抛物线y24
3、x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_. 解析：由抛物线定义得xA15，xA4，又点A位于第一象限，因此yA4，从而kAF.答案：7已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|2，则|BF|_.解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|x112，x11，直线AF的方程是x1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|AF|2.答案：28抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x2y21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：由抛物线可知焦点F，准线y，由于ABF为等边三角形，设
4、AB与y轴交于M，则|FM|p，不妨取B，|FM|MB|，即p，解得p2.答案：29根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.解：(1)双曲线方程可化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，抛物线的方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5|AF|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.10已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方
5、程解：过焦点的弦长为36，弦所在的直线的斜率存在且不为零故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点抛物线y24x的焦点为F(1,0)，直线的方程为yk(x1)由整理得k2x2(2k24)xk20(k0)x1x2.|AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，236，k.所求直线方程为y(x1)或y(x1)1已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，若3，则|()A3B4C6D7解析：选B由已知点B为AF的三等分点，作BHl于点H，如图，则|BH|FK|，所以|BF|BH|.所以|3|4.2已知抛物线x22py(p0)
6、的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则()A B C D解析：选C因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30的直线的方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以，故选C.3(2020福州期末)设抛物线y22px上的三个点A，B(1，y2)，C到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值为3，则p的值为_解析：根据抛物线的几何性质可得d1，d21，d3，由题意可得p0，因此可判断d3最大，故d33，解得p3.答案：34(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直
7、线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy4(x1x2)，k.设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB的中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.答案：25已知AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的一条弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)求证：(1)若AB的倾斜角为，则|AB|；(2)x1x2，y1y2p2；(3)为定值.证明：(1)设直线AB的方程为xmy，代入y22
8、px，可得y22pmyp20，则y1y2p2，y1y22pm，yy2p(x1x2)(y1y2)22y1y24p2m22p2，x1x22pm2p.当90时，m0，x1x2p，|AB|x1x2p2p；当90时，m，x1x2p，|AB|x1x2p2p.|AB|.(2)由(1)知，y1y2p2，x1x2.(3).6已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点M，使M到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解：(1)设抛物线上任一点P(x，y)，则|PA|22y222x2，因为x0，且在此区间上函数单调递增，所以当x0时，|PA|min，故距点A最近的点P的坐标为(0,0)(2)设点M(x0，y0)是y22x上任一点，则M到直线xy30的距离为d，当y01时，dmin，所以点M的坐标为.
