1、第十二节定积分与微积分基本定理2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念;2.了解微积分基本定理的含义。2015,天津卷,11,5分(求面积)2015,福建卷,8,5分(定积分与概率的综合)2014,陕西卷,16,5分(定积分的计算)1.定积分的计算、利用定积分求平面图形的面积是高考命题的内容之一;2.常与解析几何、函数、概率等相结合命题;3.题型以选择题、填空题为主,属中低档题。微知识小题练自|主|排|查1定积分的定义一般地,如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点ax0x1xi1xixnb,将区间a,b等分成n个小区间,在
2、每个小区间xi1,xi上任取一点i(i1,2,n),作和式f(i)xf(i),当n时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作f(x)dx。2定积分的相关概念在f(x)dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。3定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数);(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx;(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0,0)的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为_。(2)(2015福建高考)如图,点A
3、的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)x2。若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于_。【解析】(1)由图象可知A1,所以1,f(x)sin。图中其与x轴的交点横坐标为,所以图中的阴影部分的面积为0dx,因为sin,所以原式cos01。(2)依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S144,阴影部分的面积S阴影4x2dx4x34,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P。【答案】(1)1(2)考点三 定积分在物理中的应用【典例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)73t(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶
4、至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A125ln5 B825lnC425ln5 D450ln2(2)已知作用于某一质点的力F(x)(单位:N),则力F(x)从x0处运动到x2处(单位:m)所做的功为_。【解析】(1)73t0,t4或t0(舍去)。dt425ln5,故选C。(2)根据题意,力F所做的功为Wx2dx(x1)dxx3(J)。【答案】(1)C(2) J反思归纳定积分在物理中的两个应用1求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为vv(t),那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt。2变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从xa移动到
5、xb时,力F(x)所做的功是WF(x)dx。【变式训练】(1)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后,物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4C5 D6(2)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x1运动到x10,已知F(x)x21且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位:m;力的单位:N)【解析】(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt,物体B在t秒内行驶的路程为10tdt,因为(t3t5t2)3t2110t,所以(3t211
6、0t)dt(t3t5t2)t3t5t25,整理得(t5)(t21)0,解得t5。故选C。(2)变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx因为x21,所以原式342(J)。【答案】(1)C(2)342微考场新提升1定积分2|x22x|dx等于()A5 B6C7 D8解析2|x22x|dx2(x22x)dx(2xx2)dx448。故选D。答案D2(2016怀化模拟)定积分dx的值为()A. B.C D2解析令y,则(x1)2y21(y0),由定积分的几何意义可知,dx的值为区域的面积,即以(1,0)为圆心,1为半径的圆面积的,即。故选A。答案A3(
7、2017莆田模拟)如图,由函数f(x)exe的图象,直线x2及x轴所围成的阴影部分面积等于()Ae22e1 Be22eC. De22e1解析由已知得Sf(x)dx(exe)dx(exex)(e22e)(ee)e22e。故选B。答案B4(2016江西八校联考)计算:3(x3cosx)dx_。解析yx3cosx为奇函数,3(x3cosx)dx0。答案05(2016北京模拟)如图,圆O:x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是_。解析阴影部分的面积为2sinxdx2(cosx)4,圆的面积为3,所以点A落在区域M内的概率是。答案