1、第十二节定积分与微积分基本定理2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；2.了解微积分基本定理的含义。2015，天津卷，11,5分(求面积)2015，福建卷，8,5分(定积分与概率的综合)2014，陕西卷，16,5分(定积分的计算)1.定积分的计算、利用定积分求平面图形的面积是高考命题的内容之一；2.常与解析几何、函数、概率等相结合命题；3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题。微知识小题练自|主|排|查1定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在
2、每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx。2定积分的相关概念在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。3定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0，0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为_。(2)(2015福建高考)如图，点A
3、的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2。若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_。【解析】(1)由图象可知A1，所以1，f(x)sin。图中其与x轴的交点横坐标为，所以图中的阴影部分的面积为0dx，因为sin，所以原式cos01。(2)依题意知点D的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD的面积S144，阴影部分的面积S阴影4x2dx4x34，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P。【答案】(1)1(2)考点三 定积分在物理中的应用【典例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶
4、至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln5 B825lnC425ln5 D450ln2(2)已知作用于某一质点的力F(x)(单位：N)，则力F(x)从x0处运动到x2处(单位：m)所做的功为_。【解析】(1)73t0，t4或t0(舍去)。dt425ln5，故选C。(2)根据题意，力F所做的功为Wx2dx(x1)dxx3(J)。【答案】(1)C(2) J反思归纳定积分在物理中的两个应用1求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt。2变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从xa移动到
5、xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx。【变式训练】(1)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4C5 D6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m；力的单位：N)【解析】(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，因为(t3t5t2)3t2110t，所以(3t211
6、0t)dt(t3t5t2)t3t5t25，整理得(t5)(t21)0，解得t5。故选C。(2)变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx因为x21，所以原式342(J)。【答案】(1)C(2)342微考场新提升1定积分2|x22x|dx等于()A5 B6C7 D8解析2|x22x|dx2(x22x)dx(2xx2)dx448。故选D。答案D2(2016怀化模拟)定积分dx的值为()A. B.C D2解析令y，则(x1)2y21(y0)，由定积分的几何意义可知，dx的值为区域的面积，即以(1,0)为圆心，1为半径的圆面积的，即。故选A。答案A3(
7、2017莆田模拟)如图，由函数f(x)exe的图象，直线x2及x轴所围成的阴影部分面积等于()Ae22e1 Be22eC. De22e1解析由已知得Sf(x)dx(exe)dx(exex)(e22e)(ee)e22e。故选B。答案B4(2016江西八校联考)计算：3(x3cosx)dx_。解析yx3cosx为奇函数，3(x3cosx)dx0。答案05(2016北京模拟)如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_。解析阴影部分的面积为2sinxdx2(cosx)4，圆的面积为3，所以点A落在区域M内的概率是。答案