1、2020届高三数学第一次联考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（是虚数单位），则（ ）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】将表达式变形，结合复数的除法运算及复数模的定义即可求解.【详解】将表达式化简可得，由复数除法运算化简可得，则，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义及求法，属于基础题.2.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合A，由集合交集运算即可求解.【详解】集合，集合，则，故选：D.【点睛】本题考查集合
2、的概念与交集运算，属于基础题.3.实数满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由对数函数性质可判断A，根据不等式性质可判断BC，利用分析法，证明D正确.【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误；对于B，由不等式性质可知当时，所以B错误；对于C，由不等式性质可知当时，所以C错误；对于D，因为，则，欲证，即，即，显然D成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式性质与证明及推理的简单应用，属于基础题.4.下列命题正确的是（ ）A. 若“命题为真命题”，则“命题为真命题”B. 命题“，”的否定为“，”C. 存在实数，使得D. 已知直线与圆没有公共点，则【答案
3、】D【解析】【分析】根据复合命题真假关系可判断A；含全称量词命题的否定，条件不改变；根据辅助角公式，可得的最大值，进而可判断；由直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式即可判断D.【详解】对于A：“命题为真命题”，则至少有一个为真；而“命题为真命题”，则都为真，A错；对于B：命题“，”的否定“，”，B错；对于C：，C错；对于D：圆，圆心到直线的距离，因为直线与圆没有公共点，所以，化简可得.故选：D.【点睛】本题考查常用逻辑用语的简单应用，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.5.已知实数满足，令，则的最小值为（ ）A. 16B. 32C. 24D. 36【答案】A【解析】【分析】根据所给不等式
4、组，画出可行域；将目标函数变形为，求得即可求得的最小值.【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：可得，设，由图可知当经过时取得最小值，则，所以.故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，属于基础题.6.为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：未发病发病合计未注射疫苗206080注射疫苗8040120合计100100200（附：）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828则下列说法正确的：（ ）A. 至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”B. 至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”C. 至多有
5、99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”D. “发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%【答案】A【解析】【分析】根据所给表格及公式，即可计算的观测值，对比临界值表即可作出判断.【详解】根据所给表格数据，结合计算公式可得其观测值为，所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”，故选：A.【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.7.公差不为零的等差数列的前n项和为，若是与的等比中项，且，则=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式及所给条件，可得关于和的方程组，进而求得等差数列的通项公式，即可求得的值.【详解】设公差
6、为，依题意，解得，所以，故选：A.【点睛】本题考查数列的通项与求和公式的简单应用，属于基础题.8.已知，分别为直角坐标系的轴正上方上单位向量，则平行四边形的面积为（ ）A. 25B. 50C. 75D. 100【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积定义可证明，可知行四边形对角线互相垂直，结合平面向量模的求法可得，即可求得平行四边形的面积.【详解】由题意可知，分别为直角坐标系的轴正上方上单位向量，则，则平行四边形ABCD对角线垂直，所以面积为.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算与几何意义，平面向量数量积的运算，属于基础题.9.已知椭圆：的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上，则
7、椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的几何性质及点关于直线的对称点可得点坐标，代入椭圆方程即可确定与的关系，进而得离心率.【详解】椭圆：的左焦点为F，则椭圆焦点，点关于直线的对称点在椭圆上，则，因为在椭圆上，代入可得，则，由可得，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质及简单应用，点关于直线对称点问题，属于基础题.10.一竖立在水平面上圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ）A. 1mB. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将圆锥展开后的扇
8、形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示：由最短路径为，即，由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为，则圆锥底面圆的周长为，则底面圆的半径为，故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.11.阿基米德（公元前287年公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，他研究了圆锥曲线许多性质，曾利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴
9、与短半轴之积.若椭圆C的两个焦点为，P为椭圆上一点，的面积最大值为12，且椭圆离心率为，则椭圆C的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的最大值、离心率及椭圆中关系，可列方程组求得的值，结合题意即可确定椭圆C的面积.【详解】设椭圆长半轴与短半轴分别为，的面积最大值为12，椭圆离心率为，则，解得，由题意可知，所以椭圆C的面积为，故选：A.【点睛】本题考查了圆锥曲线性质的简单应用，借助古典文化考查理解能力，属于基础题.12.将函数（）的图象向右平移（）个单位后得到奇函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据降幂公
10、式化简函数表达性，根据相邻两个交点的距离可确定周期，即可确定；由平移后函数为奇函数可得的表达性，进而由即可求得的值.【详解】由降幂公式化简可得，向右平移个单位后图象与直线相邻两个交点的距离为，即周期为，所以，所以平移后的解析式为，因为向右平移后所得函数为奇函数，则，则，由，可得，故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数化简、三角函数图象平移变换与性质的综合应用，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数，则_.【答案】2020【解析】【分析】根据分段函数解析式，先求得，再代入即可求解.【详解】函数，则，所以.故答案为：2020.【点睛】本题考查了分段函数求值，对数函
11、数与指数函数的性质及运算，属于基础题.14.直线的倾斜角为，则_.【答案】【解析】【分析】根据直线方程可求得，结合齐次式的变形即可求解.【详解】直线的倾斜角为，则，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数化简与求值，齐次式形式的求值，属于基础题.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的值为_.【答案】【解析】【分析】将表达式借助正弦定理及同角三角函数关系式化简，由正弦和角公式变形，即可求得，进而得角的值.【详解】由题意，由正弦定理、同角三角函数关系式及正弦和角公式化简可得，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考正弦定理在边角转化中的应用，三角函数变换与求值，属于基
12、础题.16.已知函数，若在上曲线与没有交点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可知在上无实数根，分离参数后构造函数，由导函数判断单调性，从而求得的最小值，即可确定的取值范围.【详解】曲线与在上没有交点，即在上无实数根，即，在上无实数根，令，则，即在时单调递增，则，.故答案为：.【点睛】本题考查了导数在证明函数单调性中的应用，由导函数单调性求参数的取值范围，分离参数法的应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.共享单车是指
13、由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组80.16第2组第3组20040第4组0.08第5组2合计（1）求的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.【答案】（1
14、）；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布表可得内的频数为,内的频率为内的频率为0.04（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为、；第5组的2人分别为、从中任取2人的所有基本事件为：,共15个.至少一人来自第5组的基本事件有：,共9个.所以.所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法
15、表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.18.在三棱柱中，侧面为菱形，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且.（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由为等腰直角三角形，为中点可得（2）根据三棱锥体积公式，且由即可由线段关系求得体积.【详解】（1）为等腰直角三角形，为的中点，所以由等腰三角形三线合一可得又侧面为菱形，所以，由，可得，由勾股定理逆定理可得，且，所以由线面垂直的判定定理可得平面；（2）由（1）知平面，为中点，到底面的距离为，所以【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，三棱锥体积公式的求法，属于基础题.19.已知各项为正数
16、的数列，前项和为，且，（）.（1）证明：数列为等差数列，并求出数列通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据所给条件式，变形后由等差数列定义即可证明数列为等差数列，由等差数列通项公式即可求得，再根据即可求得数列通项公式；（2）表示出数列的通项公式，结合裂项求合法即可求得数列的前项和.【详解】（1）证明：各项为正数的数列，所以，即数列为等差数列是首项为1，公差为1的等差数列.所以，即，符合，所以.也符合该通项公式，故.（2）.【点睛】本题考查了等差数列的定义及证明，由前n项和求等差数列通项公式的方法，裂项求和法的应用，属于基础题.20.已知抛物
17、线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离为.（1）求的值；（2）已知点，若直线交抛物线于另一个点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线定义，结合题意即可求得值；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，表示出，.由平面向量数量积的坐标运算及即可求得斜率，进而求得直线的方程.【详解】（1）根据题意画出几何关系如下图所示， 抛物线上的点到轴的距离为,由抛物线定义可得等于到的距离，所以为抛物线准线方程，解得.（2）由（1）知，可设方程为，直线交抛物线于另一个点，即直线与抛物线有两个交点，因而存在；所以，化简可得.则，.又，由于，代入，化简可得，解得.所以直线方程为【点
18、睛】本题考查了抛物线的定义及性质简单应用，直线与抛物线位置关系的应用，平面向量垂直时的坐标关系及运算，属于基础题.21.已知函数（）.（1）求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的极值点个数.【答案】（1）（2）当时，只有一个极大值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，求得参数的值，代入导函数即可求得切线的斜率，进而求得切线方程.（2）求得导函数并化简变形，进而讨论、三种情况，结合函数的单调性即可确定极值情况.【详解】（1）函数图象过点，代入可得，解得.代入函数可得，则，所以，由点斜式可得切线方程为.所以函数在点处的切线方程为.（2）函数（）.则，
19、令，.（）当时，代入可得，令，解得，当，所以函数在内单调递增，当时，所以函数在时单调递减，因而只有一个极大值点（）当时，令，由两根之积为可知方程只有一个正根，当时，所以函数单调递增，当时，所以函数单调递减，因而只有一个极大值点（）当时，令，有两个正根，+0-0+增极大值减极小值增综上可知，当时，只有一个极大值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，由导函数确定函数的极值情况，含参数的单调性及分类讨论思想的综合应用，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答
20、题卡上把所选题目的题号涂黑.22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）曲线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）的普通方程为，；曲线的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的转化，可消去得的普通方程；根据正弦差角公式展开，结合极坐标与直角坐标的转化公式，代入化简即可.（2）根据两个函数的方程，联立后画出函数图像，结合图像即可求得的取值范围.【详解】（1），化简可得的普通方程为，；.曲线的直角坐标方程为（2）由（1）知，曲线与曲线有两
21、个公共点，即方程在上有两个不同实根，即与在上有两个不同交点，的函数图像如下图所示：结合图形知.所以的取值范围为.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转化，参数方程与普通方程的转化，数形结合求参数取值范围的应用，属于基础题.23.已知，.（1）若恒成立，求实数x的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据基本不等式，可先求得的最小值，再分类讨论即可去绝对值解不等式.（2）先利用整式乘法公式展开化简，结合基本不等式即可证明不等式成立.【详解】（1），.所以，当且仅当时取等号，解得.因为恒成立，即恒成立，当时，去绝对值化简可得，解得，即恒成立；当时，去绝对值化简可得，解得，即；当时，去绝对值化简可得，解得，即无解；综上可知，满足的解集为.（2）证明：因为，代入上式可得当且仅当时取等号，解得，即成立.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值和证明不等式成立中的应用，分类讨论解绝对值不等式，属于基础题.
