1、4.5 函数的应用（二）4.5.2 用二分法求方程的近似解 复习导入 我们已经知道，函数()=+2 6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.新知探索 取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5)0.084.因为(2.5)(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内.再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75)0.512.因为(2.5)(2.75)0，所以零点在区间(2.5,
2、2.75)内.由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.新知探索 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值(2,3)2.50.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.009(2.53125,2.5625)2.54687
3、50.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001 新知探索 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值(2,3)2.50.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001 例如，当精确度为0.0
4、1时，因为|2.5390625 2.53125|0.0078125 0.01，所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将=2.53125作为函数()=+2 6零点的近似值，也即方程+2 6=0的近似值.新知探索 对于区间,上图象连续不断且()()0的函数=()，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.注：判断一个函数能否用二分法的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.新知探
5、索 给定精确度，用二分法求函数=()零点0的近似值的一般步骤如下：1.确定零点0初始区间,，验证()()0.2.求区间(,)的中点.3.计算()，并进一步确定零点所在的区间：(1)若()=0(此时0=)，则就是函数的零点；(2)若()()0(此时0 (,)，则令=；(3)若()()0(此时0 (,)，则令=.4.判断是否达到精确度：若|，则得到零点近似值(或)；否则重复步骤24.由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.新知探索 辨析1：判断正误.(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.（）(2)函数()=|可以用二分法求其零点.（）(3)精确度就是近似值.（）答案：，.辨
6、析2：用二分法研究函数()=3+3 1的零点时，第一次经计算(0)0，可得其中一个零点0 _，第二次计算_，以上横线上应填的内容为（）.A.(0，0.5)，(0.25)B.(0，1)，(0.25)C.(0.5，1)，(0.75)D.(0，0.5)，(0.125)答案：A.例析 例2.借助信息技术，用二分法求方程2+3=7的近似解(精确度为0.1).解：原方程即2+3 7=0，令()=2+3 7，用信息技术画出函数=()的图象，并列出它的对应值表.012345678-6-2310214075142273观察图或表，可知(1)(2)0，说明该函数在区间(1，2)内存在零点0.例析 例2.借助信息技
7、术，用二分法求方程2+3=7的近似解(精确度为0.1).012345678-6-2310214075142273取区间(1，2)的中点1=1.5，用信息技术算得(1.5)0.33.因为(1)(1.5)0，所以0 (1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点2=1.25，用信息技术算得(1.25)0.87.因为(1.25)(1.5)0，所以0 (1.25,1.5).同理可得，0 (1.375,1.5)，0 (1.375,1.4375).由于|1.375 1.4375|=0.0625 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.例析 由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同
8、的步骤.因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.下图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解.练习 题型一：二分法的概念 例1.下列函数中不能用二分法求零点的是（）.答案：用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.故选B.练习 变1.关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是（）.“二分法”求方程的近似解一定可将=()在区间,内的所有零点得到 .“二分法”求方程的近似解有可能得不到=()在,内的零点 .应用“二分法”求方程的近似解，=()在区间,内有可能
9、无零点 D.“二分法”求方程的近似解也可能得到()=0在,内的精确解 答案：如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，A错误.二分法的实施满足零点存在定理，在区间一定存在零点，B错误.只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，C错误.“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，D正确.故选D.练习 题型二：用二分法求方程的近似解 例2.用二分法求方程22+3 3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).解：令()=22+3 3，经计算，(0)=3 0,(0)(1)0.函数()在(0,1)内有零点，即方程22+3=3在(0,1)内有解.
10、取(0,1)的中点0.5，经计算(0.5)0,方程22+3 3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表.练习 例2.用二分法求方程22+3 3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).(,)中点()()(+2)(0,1)0.5(0)0(0.5)0(0.5,1)0.75(0.5)0(0.75)0(0.5,0.75)0.625(0.5)0(0.625)0(0.625,0.75)0.6875(0.625)0(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.6875 0.75|=00625 0.1 由于|0.6875 0.75|=00625 0.1，0.75可作为方程的一个正实数近似解.课堂小结&作业 课堂小结：(1)二分法的概念；(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P146的1-2题.
